蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明章末測試(編輯修改稿)
2025-01-10 09:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ； ② f(m＋ 1,1)＝ 2f(m,1)．給出以下三個結(jié)論： (1)f(1,5)＝ 9； (2)f(5,1)＝ 16； (3)f(5,6)＝ ________． 解析 f(1,5)＝ f(1,4)＋ 2＝ f(1,3)＋ 4＝ f(1,2)＋ 6＝ f(1,1)＋ 8＝ 9； f(5,1)＝ 2f(4,1)＝ 4f(3,1)＝ 8f(2,1)＝ 16f(1,1)＝ 16； f(5,6)＝ f(5,5)＋ 2＝ f(5,4)＋ 4＝ f(5,3)＋ 6＝ f(5,2)＋ 8＝ f(5,1)＋ 10＝ 26. 所以這 3個結(jié)論都正確． 答案 3 13．凸函數(shù)的性質(zhì)定理為：如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間 D內(nèi)的任意 x1， x2， ? ， xn，有 f?x1?＋ f?x2?＋ ? ＋ f?xn?n ≤ f?? ??x1＋ x2＋ ? ＋ xnn ，若函數(shù) y＝ sin x在區(qū)間 (0， π)上是凸函數(shù)，則在 △ ABC中， sin A＋ sin B＋ sin C的最大值為 ________． 解析 根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)定理，可得 sin A＋ sin B＋ sin C≤ 3sin?? ??A＋ B＋ C3 ＝ 3 32 ， 即 sin A＋ sin B＋ sin C的最大值為 3 32 . 答案 3 32 14． (2021陜西高考 )觀察下列各式 ： 1＝ 1 2＋ 3＋ 4＝ 9 3＋ 4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 25 4＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49 ?? 照此規(guī)律，第 n個等式為 ________． 解析 由前 4個等式可知，第 n個等式的左邊第一個數(shù)為 n，且連續(xù) 2n－ 1個整數(shù)相加，右邊為 (2n－ 1)2，故第 n個等式為 n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋ ? ＋ (3n－ 2)＝ (2n－1)2. 答案 n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋ ? ＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2 二、解答題 (本大題共 6 小題，共計 90 分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ) 15． (本小題滿分 14 分 )已知 a、 b、 c為正數(shù)，且 a＋ b＋ c＝ 1，求證： a＋ b＋ c≤ 3. 證明 ∵ a13≤a＋ 132 ， b13≤b＋ 132 ， c13≤c＋ 132 ， 三式相加得 a3＋ b3＋ c3≤ 12(a＋ b＋ c)＋ 12＝ 1. ∴ a＋ b＋ c≤ 3. 16． (本小題滿分 14 分 )設(shè) a， b， c均為奇數(shù)，求證：方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 無整數(shù)根． 證明 假設(shè)方程有整數(shù)根 x＝ x0， ∴ ax20＋ bx0＋ c＝ 0， ∴ c＝－ (ax20＋ bx0)． 若 x0是偶數(shù)，則 ax20， bx0是偶數(shù)， ax20＋ bx0是偶數(shù)，從而 c是偶數(shù)，與題設(shè)矛盾； 若 x0是奇數(shù)，則 ax20， bx0是奇數(shù)， ax20＋ bx0是偶數(shù)，從而 c是偶數(shù)，與題設(shè)矛盾． 綜上所述，方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 沒有整數(shù)根． 17． (本小題滿分 14 分 )在數(shù)列 {an}中， a1＝－ 23， an＝ Sn＋ 1Sn＋ 2(n≥ 2， n? N*)． (1)求 S1， S2， S3；
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