高中數(shù)學蘇教版選修2-2第1章導數(shù)及其應用133(編輯修改稿)
2024-12-23 23:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∴ f ′ ( x ) ＝ 3e x － (e x x 2 ＋ 2e x x ) ＝－ e x ( x 2 ＋ 2 x － 3) ＝－ e x ( x ＋ 3 ) ( x － 1) ， ∵ 在區(qū)間 [ 2 , 5 ] 上， f ′ ( x ) ＝－ e x ( x ＋ 3 ) ( x － 1 ) 0 ， 即函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ 2 , 5 ] 上單調(diào)遞減， ∴ x ＝ 2 時，函數(shù) f ( x ) 取得最大值 f ( 2 ) ＝－ e 2 ； x ＝ 5 時，函數(shù) f ( x ) 取得最小值 f ( 5 ) ＝－ 22e 5 . 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 探究點 二 含參數(shù)的函數(shù)的最值問題 例 2 已知 a 是實數(shù)，函數(shù) f ( x ) ＝ x2( x － a ) . ( 1) 若 f ′ ( 1) ＝ 3 ，求 a 的值及曲線 y ＝ f ( x ) 在點 (1 ， f ( 1) ) 處的切線方程 . ( 2) 求 f ( x ) 在區(qū)間 [ 0,2 ] 上的 最大值 . 解 ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 ax . 因為 f ′ ( 1 ) ＝ 3 － 2 a ＝ 3 ， 所以 a ＝ 0. 又當 a ＝ 0 時， f ( 1 ) ＝ 1 ， f ′ ( 1 ) ＝ 3 ， 所以曲線 y ＝ f ( x ) 在點 (1 ， f ( 1 ) ) 處的切線方程為 3 x － y － 2 ＝ 0. ( 2 ) 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，解得 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 2 a3 . 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 當 2 a3 ≤ 0 ，即 a ≤ 0 時， f ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 上單調(diào)遞增， 從而 f ( x ) m a x ＝ f ( 2 ) ＝ 8 － 4 a . 當 2 a3 ≥ 2 ，即 a ≥ 3 時， f ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 上單調(diào)遞減， 從而 f ( x ) m a x ＝ f ( 0 ) ＝ 0. 當 0 2 a3 2 ，即 0 a 3 時， f ( x ) 在 ??? ???0 ， 2 a3 上單調(diào)遞減，在 ??? ???2 a3 ， 2 上單調(diào)遞增， 從而 f ( x ) m a x ＝????? 8 － 4 a ? 0 a ≤ 2 ?0 ? 2 a 3 ? ， 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 綜上所述， f ( x ) m a x ＝????? 8 － 4 a ? a ≤ 2 ?0 ? a 2 ? . 小結(jié) 由于參數(shù)的取值不同會導致函數(shù) 在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導致最值的變化 . 所以 解 決這類 問題 常需要分類討論，并結(jié)合不等式的知識進行求 解 . 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 跟蹤訓練 2 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ax 3 － 6 ax 2 ＋ b ， x ∈ [ － 1,2] 的最大值為 3 ，最小值為－ 29 ，求 a ， b 的值 . 解 f ′ ( x ) ＝ 3 ax 2 － 12 ax ＝ 3 ax ( x － 4) ，令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x 1 ＝ 0 ，x 2 ＝ 4( 舍去 ). ( 1) 當 a 0 時，列表如下： x － 1 ( － 1,0) 0 ( 0,2 ) 2 f′ ( x ) ＋ 0 － f ( x ) － 7 a ＋ b ↗ b ↘ － 16 a ＋ b 由
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