高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第一章推理與證明綜合測試(編輯修改稿)
2025-01-10 06:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 N FE)( 12MN FL)＝ S△ MNE S△ MNL，同理 S2△ OML＝ S△ MLE S△ MNL， S2△ ONL＝ S△ NLE S△ MNL， ∴ S2△ OMN＋ S2△ OML＋ S2△ ONL＝ (S△ MNE＋ S△ MLE＋ S△ NLE) S△ MNL＝ S2△ MNL，即 S21＋ S22＋S23＝ S2. 12． f(n)＝ 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 1n(n∈ N*)，經(jīng)計算得 f(2)＝ 32， f(4)＞ 2， f(8)＞ 52， f(16)＞ 3，f(32)＞ ：當(dāng) n≥2 時，有 ____________． [答案 ] f(2n)＞ n＋ 22 [解析 ] 由前幾項 的規(guī)律可得答案． y＝ loga(x＋ 3)－ 1(a0 且 a≠1) 的圖像恒過定點(diǎn) A，若點(diǎn) A 在直線 mx＋ ny＋ 1＝ 0上，其中 mn0，則 1m＋ 2n的最小值為 ________． [答案 ] 8 [解析 ] y＝ loga(x＋ 3)－ 1(a0且 a≠1) 的圖像恒過定點(diǎn) A(－ 2，－ 1)． 又 ∵ 點(diǎn) A在直線 mx＋ ny＋ 1＝ 0上， ∴ 2m＋ n＝ 1. 又 ∵ mn0， ∴ m0， n0. ∴ 2m＋ n＝ 1≥2 2mn，當(dāng)且僅當(dāng) 2m＝ n＝ 12， 即 m＝ 14， n＝ 12時取等號， ∴ mn≤ 18.∴ 1m＋ 2n＝ 2m＋ nmn ＝ 1mn≥8. 14．若數(shù)列 {an}中， a1＝ 1， a2＝ 3＋ 5， a3＝ 7＋ 9＋ 11， a4＝ 13＋ 15＋ 17＋ 19， ? ，則 a10＝ ________. [答案 ] 1 000 [解析 ] 前 10 項共使用了 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ ? ＋ 10＝ 55 個奇數(shù)， a10為由第 46 個到第 55個奇數(shù)的和，即 a10＝ (246 － 1)＋ (247 － 1)＋ ? ＋ (255 － 1)＝ ＋2 ＝ 1 000. 15． (2021 陜西文， 14)已知 f(x)＝ x1＋ x， x≥0 ，若 f1(x)＝ f(x)， fn＋ 1(x)＝ f(fn(x))，n∈ N＋ ， 則 f2021(x)的表達(dá)式為 ________． [答案 ] x1＋ 2021x [解析 ] f1(x)＝ f(x)＝ x1＋ x， f2(x)＝ f(f1(x))＝x1＋ x1＋ x1＋ x＝ 11＋ 2x， f3(x)＝ f(f2(x))＝x1＋ 21＋ x1＋ 2x＝ x1＋ 3x， ? ， f2021(x)＝ x1＋ ，找出解析式． 三、解答題 (本大題共 6小題，共 75分，前 4題每題 12 分， 20 題 13分， 21題 14分 ) 16．已知 a0， b0，求證： ab＋ ba≥ a＋ b. [證明 ] 證法一： (綜合法 ) ∵ a0， b0， ∴ ab＋ b≥2 a，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時取等號，同理： ba＋ a≥2 b，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時取等號． ∴ ab＋ b＋ ba＋ a≥2 a＋ 2 b， 即 ab＋ ba≥ a＋ b. 證法二： (分析法 ) 要證 ab＋ ba≥ a＋ b， 只需證： a a＋ b b≥ a b＋ b a， 只需證： a a＋ b b－ a b－ b a≥0 ， 而 a( a－ b)－ b( a－ b)＝ ( a＋ b)( a－ b)2≥0 ， 當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時取等號， 所以 ab＋ ba≥ a＋ b. 證法三： (反證法 ) 假設(shè)當(dāng) a0， b0時， ab＋ ba a＋ b. 由 ab＋ ba a＋ b，得 ab＋ ba－ a－ b0， 即 a a＋ b b－ a b－ b aa b ＝ a a－ b － b a－ ba b ＝ a＋ b a－ b2a b 0， 當(dāng) a0， b0時，顯然不成立，
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