【文章內(nèi)容簡介】 nαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸，可知角α，β的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導(dǎo)公式Cαβ呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識來推＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導(dǎo)是否正確．當(dāng)α－β為任意角時，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，則＝cosθ＝cos（α－β）；若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，對于任意角α，β都有：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達(dá)式．兩角和與差的正弦教材分析在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對這個特點，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時，通過練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過誘導(dǎo)公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意－（α＋β）］角），可以實現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cαβ即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sαβ．Cα+β，Cαβ，Sα+β和Sαβ四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點為公式Sα+β，Sαβ兩邊的運算符號相同，Cα+β與Cαβ兩邊的運算符號相反．Sα+β與Sαβ中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cαβ與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．任務(wù)分析這節(jié)課計劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對三角函數(shù)中的每一個公式要求學(xué)生會推導(dǎo)，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)．在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．在教學(xué)中，及時提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點是準(zhǔn)確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用．教學(xué)目標(biāo) ，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法．教學(xué)過程一、問題情景如圖421，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75176。角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準(zhǔn)備多長的鋼絲繩？設(shè)電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75176。的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75176。角可表示成兩個特殊角45176。與30176。的和，那么sin75176。的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？二、建立模型 究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過誘導(dǎo)公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索． Sα+β與Sαβ中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號的差異．三、解釋應(yīng)用 ［例題一］已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本題主要訓(xùn)練公式Sαβ與Sα+β的使用．由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［練習(xí)一］分析：1.（1）強調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30176。＋α）－30176。，再利用已知條件求出cos（30176。＋α）．，C＝π－（A＋B），再由誘導(dǎo)公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）．，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個單角來表示．，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：（1）求出α＋β角的某個三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個三角函數(shù)值時，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．已知向量的坐標(biāo)． ＝（3，4），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)45176。到′→的位置，求點P′（x′，y′）解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45176。）＝5（cosαcos45176。－sinαsin45176。）＝－，y′＝5sin（α＋45176。）＝5（sinαcos45176。＋cosαsin45176。）＝，∴P′ －，．已知向量＝（4，3），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)60176。，－135176。到1，2的位置，求點P1，P2的坐標(biāo)．［例題三］求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導(dǎo)時，要關(guān)注解題過程，以便讓學(xué)生充分理解輔助角φ滿足的條件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標(biāo)的點P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個角為φ，則［練習(xí)三］求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知兩個電流瞬時值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45176。），I2＝10sin（ωt＋30176。），求合成的正弦波I＝I1＋I(xiàn)2的函數(shù)式．四、拓展延伸出示兩道延伸性問題，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，然后師生共同解決．＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60176。），I3＝10sin（ωt＋60176。），求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式I＝I1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)3，并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期．（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉(zhuǎn)θ角到點P′（x′，y′）（如圖422），求證：三角形邊和角關(guān)系的探索教材分析初中已研究過解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關(guān)系，并且應(yīng)用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關(guān)系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進(jìn)而得出一般性的結(jié)論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學(xué)生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質(zhì)．當(dāng)然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．這節(jié)課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實際問題．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在初中對三角形有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形的邊、角之間的等量關(guān)系．對正弦定理的推導(dǎo)，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進(jìn)，學(xué)生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應(yīng)用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關(guān)問題．教學(xué)目標(biāo)、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理． 、余弦定理解斜三角形．，結(jié)合解三角形的知識，解決生產(chǎn)、生活中的簡單問題．教學(xué)設(shè)計一、問題情景，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機的機身上（如圖431），問：飛機離兩探照燈的距離分別是多少？，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)，設(shè)計時應(yīng)計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60176。，AB與水平的夾角為6176。20′，計算BC的長．（）問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型在問題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝176。，∠B＝176。，AB＝2558m．求AC，BC的長．組織學(xué)生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長度．（讓學(xué)生思考，允許有不同的解法）結(jié)論：如圖403，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數(shù)的定義，知AD＝ACsinC，AD＝ABsinB．由此可得ACsinC＝ABsinB．又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長度，同理可求BC的長度．教師明晰：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時，由正弦函數(shù)的定義，得（2）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，設(shè)AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，結(jié)論是否仍然成立？引導(dǎo)學(xué)生自己推出．（詳細(xì)給出解答過程）事實上，當(dāng)∠A為鈍角時，由（2）易知設(shè)BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180176。－A）．根據(jù)誘導(dǎo)公式，知sin（180176。－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA， 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數(shù)量關(guān)系．思考：正弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問題？ （2）這一實際問題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝，AC＝，夾角為6176。20′，求BC的長． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個三角形為確定的三角形，那么怎樣去計算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點間的距離公式）如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．∵｜c｜2＝cc＝（a－b）（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．思考：余弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題？ 勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關(guān)系，那么這兩個定理之間存在怎樣的關(guān)系？如何利用余弦定理來判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？三、解釋應(yīng)用 ［例 題］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝176。，B＝176。，ａ＝，解三角形．（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28