【正文】 0的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____。brraa(3)rrrr(a+b)b=x1x2+y1y2 a=(x,y)已知非零向量,22,則11(找學(xué)生到黑板上推導(dǎo))結(jié)論::向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與前面所學(xué)的向量的坐標(biāo)運(yùn)算有什么聯(lián)系和區(qū)別?(學(xué)生討論回答,教師歸納)例=(2,3),b=(2,4),c=(1,2),求: rr(1)a對(duì)于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。ab；板書設(shè)計(jì)：整個(gè)板面分成三列，把重點(diǎn)知識(shí)數(shù)量積的定義放在中間顯著位置。l 向量數(shù)量積的幾何意義是：a b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運(yùn)算律有三條：??。求a(ab)。根據(jù)教學(xué)實(shí)際，有的數(shù)學(xué)知識(shí)可提出問題讓學(xué)生解決，并總結(jié)、概括出一般的結(jié)論或規(guī)律，但有些知識(shí)學(xué)生聽講時(shí)，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時(shí)恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞绞牵合茸寣W(xué)生學(xué)會(huì)，再說明道理。 7a2 30ab + 8b2 = 0② 兩式相減：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2abb21設(shè)a、b的夾角為q，則cosq =∴q = 60176。с＋ｂс＝ｂ ab = 0；(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab = |a||b|.特別的aa = |a|2或|a|=aa(3)|ab| ≤ |a||b|(4)cosq=ab，其中q為非零向量a和b的夾角。其幾何意義實(shí)質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：a和bcosq。時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180176。p時(shí)，數(shù)量積為負(fù)。2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq，（０≤θ≤π）.，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)量積的定義ab = |a||b|cosq無法得到，因此另外進(jìn)行了規(guī)定。二、教學(xué)目標(biāo)：?！窘虒W(xué)反思】 待寫??第四篇：《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思交口第一中學(xué)趙云鵬平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，在每年高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容。【課堂小測(cè)】A、300rrrrrrrrr(05北京)a=1，b=2，c=a+b，且c^a，則向量a與b的夾角為（）rr已知a=1，b=000 B、60 C、120 D、150rrrrr2，且a^(ab)，已知向量a=(sinq,1),b=(1,cosq)，且q22rrrr（2）.求a+b的最大值(1).若a^b,求q答案：Cp4（1）p4，（2）2+1設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小測(cè)快速反饋，既可以把學(xué)生取得的進(jìn)步變成有形的事實(shí)，使之受到鼓勵(lì)，樂于接受下一個(gè)任務(wù)，又可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，及時(shí)矯正乃至調(diào)節(jié)教學(xué)的進(jìn)度，從而有效地提高課堂教學(xué)的效率。2p，已知兩個(gè)向量則向量p1p2長度的最大值是op1=(cosq,sinq)，op2=(2+sinq,2cosq)，______ 答案： 31010；92142；32設(shè)計(jì)意圖：要求每位學(xué)生自己先做練習(xí)，然后對(duì)照答案進(jìn)行自主的學(xué)習(xí)、同座之間互相探討，然后聽老師或?qū)W生進(jìn)行講解。b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．(2)若已知a與b的坐標(biāo)，則可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1【鞏固練習(xí)】（1）（09重慶理）已知A、6rrrrrrra=b=6且a【典例剖析】應(yīng)用3：利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題rrr1rrrr1例(2011年廣州調(diào)研)已知a=1，ab＝_____；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=︱a︱難點(diǎn)：如何將有關(guān)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為向量問題。由于本班是普通班，受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，造成不少學(xué)生對(duì)數(shù)量積理解上的偏差，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。利用向量知識(shí)，可以解決不少復(fù)雜的的代數(shù)幾何問題。但當(dāng)B≈149176。）分析：.∵0176。）（1）ａ＝，ｂ＝，C＝176。B＝45176。邊長精確到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝，ｂ＝，ｃ＝，解三角形．（角精確到1′）．分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時(shí)既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．，A為建筑物的最高點(diǎn)．設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高．由解直角三角形的知識(shí)，只要能知道一點(diǎn)C到建筑物頂部A的距離CA，并能測(cè)出由點(diǎn)C觀察A的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高．為了求出CA的長，可選擇一條水平基線HG（如圖439），使H，G，B三點(diǎn)在同一條直線上．在G，H兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別為α，β，設(shè)CD＝ａ，測(cè)角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習(xí)］△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1176。ａ＝，解三角形．（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40176。20′，求BC的長． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個(gè)三角形為確定的三角形，那么怎樣去計(jì)算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點(diǎn)間的距離公式）如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．∵｜c(diǎn)｜2＝csinC＝AB∠B＝176。），I3＝10sin（ωt＋60176。－135176。）＝－，y′＝5sin（α＋45176。＋α）．，C＝π－（A＋B），再由誘導(dǎo)公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）．，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時(shí)，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個(gè)單角來表示．，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：（1）求出α＋β角的某個(gè)三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．已知向量的坐標(biāo)． ＝（3，4），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45176。的和，那么sin75176。角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準(zhǔn)備多長的鋼絲繩？設(shè)電線桿與地面接觸點(diǎn)為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點(diǎn)為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75176。＝｜｜｜｜c(diǎn)os（α－β）＝cos（α－β）．由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有＋α）sin（α－54176。＋α）－30176。．對(duì)于（3），可以把A＋B角看成一個(gè)整體，去替換Cαβ中的α角，用B角替換β角．2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30176。－sin215176。cos105176。＝cos（60176。的差或者分解成60176。及cos105176。）＝cos30176。β的三角函數(shù)？為了解決這類問題，本節(jié)首先來探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式．更一般地說，對(duì)于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來呢？二、建立模型 究（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導(dǎo)學(xué)生通過特例否定這一猜想．例如，α＝60176。＝⊥…△ABC中，｜b｜c(diǎn)os∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120176。．，b的夾角為銳角時(shí)，你能說明a＋21［練習(xí)］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）時(shí)，有（a＋kb）⊥（a－kb）．：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2aa－6b2＝｜a｜－｜a｜｜b｜c(diǎn)os60176。求（a＋2b）a－aa＋b（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）c）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果ac＝ac＋bb）； 同理ab＝0｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（ab＝λ（a求四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律b． 解：aa＝｜a｜2，于是｜a｜＝ac）與（ab）c＝a（bc）的不同．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景如圖401所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算．W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ．其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？二、建立模型“功”的模型中得到如下概念：已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ab＝b即＝． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。b的幾何意義嗎？ 如圖403，a（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸b＋2a－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）（a－3b）． 解：（a＋2b）b＋bb＝ a2＋2a（a＋b）＝ ab＝cc＋bc（乘法對(duì)加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2，∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝c（λb）＝λ（ab＝0＝λ（ab）； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）b）＝a．：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義．回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝54cos120176。b＝0．.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．說明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，ac與a＝c的關(guān)系，a第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 40 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘