數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計(jì)(編輯修改稿)
2025-01-04 02:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 象也更寬泛，方法更一般化了。其次是為代數(shù)課題提供了幾何直觀。由于代數(shù)借用了幾何的術(shù)語，運(yùn)用了與幾何的類比而獲得新的生命力。如線性代數(shù)正是借用幾何學(xué)中的空間、線性等概念與類比的方法把自己充實(shí)起來而迅速發(fā)展的。代數(shù)方法便于精細(xì)計(jì)算，幾何圖形直觀形 象，數(shù)形結(jié)合、互相促進(jìn)，使我們加深了對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的認(rèn)識(shí)。正如拉格朗日所說：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鐮，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”而且數(shù)形結(jié)合從方法論角度能給人們以重要的啟示 [8]。在平面上把點(diǎn)與數(shù)對(duì)、曲線與方程之間建立一一對(duì)應(yīng)的思考方法，啟發(fā)數(shù)學(xué)家們把一個(gè)個(gè)函數(shù)視為點(diǎn)，而把某類函數(shù)的全體視作“空間”，由此形成分析類數(shù)學(xué)中泛函分析為一活躍的分支。數(shù)形結(jié)合也是數(shù)學(xué)學(xué)科分支建立的內(nèi)驅(qū)力?？梢哉f，從認(rèn)識(shí)論和方 法論的角度看，數(shù)形結(jié)合這種思維方法的運(yùn)用，有助于加深對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，有助于對(duì)具體數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行抽象與概括，拓展了人們思維的深度和廣度，使數(shù)學(xué)思維更深刻，更具創(chuàng)造性 [9]。同時(shí)數(shù)形結(jié)合可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。 3 3 數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 中學(xué)數(shù)學(xué)大綱指出：“通過數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn)的教育?！睌?shù)形結(jié)合思想就是利用“形”的直觀性和“數(shù)”的規(guī)范性，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化處理數(shù)學(xué)問題。數(shù) 形結(jié)合思想貫穿于全部中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中。本章將就數(shù)形結(jié)合在處理不等式組中字母系數(shù)的取值范圍、方程根的存在性問題、不等式問題和求極值問題中的應(yīng)用進(jìn)行討論，并給出了具體的實(shí)際案例分析，驗(yàn)證了數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的重要作用。 數(shù)形結(jié)合在處理取值范圍中的應(yīng)用 近年來，在不同類型的考試中出現(xiàn)了已知不等式的解集，求不等式組中字母系數(shù)的取值范圍的題目 [10]。在處理這類問題時(shí)，如何單純從不等式的解集出發(fā)，將無從求解。如果借用數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合分類討論的數(shù)學(xué)思想則可很好地解決這類問題，在此我們將舉例介紹這種方法的 應(yīng)用。 例 ：若不等式組??? ?? ?? )2(12 )1(1ax ax無解，求 a的取值范圍。 解：（ 1）當(dāng) a+12a1 時(shí)，不等式（ 1）和（ 2）的解集在數(shù)軸上表示出來，如圖 所示。 a + 1 2 a 1 圖 則原不等式無解。 （ 2）當(dāng) a+1=2a1時(shí)，不等式（ 1）和（ 2）的解集在數(shù)軸上標(biāo)出來，如圖 。 a + 1( 2 a 1 ) 圖 （ 3）當(dāng) a+12a1時(shí)，不等式（ 1）和（ 2）的解集 在數(shù)軸上表示出來，如圖 。 k2 圖 則原不等式組的解集為 2a1xa+1。 由題意可知，原不等式組無解，所以 121 ??? aa ，即 2?a 時(shí)，原不等式組無解。故 a的取值范圍是 2?a 。 例 ：若關(guān)于 x的不等式組??? ?? ?? )2(0 )1(02kxx的解集為 x2，求 k的取值范圍。 解：從不等式（ 1）和（ 2）易 知，不等式（ 1）的解集為 x2，不等式（ 2）的解集為 xk。 （ 1）當(dāng) 2??k 時(shí)，不等式（ 1）和（ 2）的解集在數(shù)軸上表示如圖 。 4 k2 圖 則原不等式組的解集為 kx ?? 。 （ 2）當(dāng) 2??k 時(shí)，不等式（ 1）和（ 2）的解集在數(shù)軸上表示如圖 。 k( 2 ) 圖 則原不等式組的解集為 2?x 。 （ 3）當(dāng) 2??k 時(shí)，不等式（ 1）和（ 2）的解集在數(shù)軸上表示如圖 。 2 k 圖 則原不等式的解集為 2?x 。 則綜上所述，原不等式組的解集為 2?x ，所以 2??k 。即 2??k 時(shí)，原不等式組的解集為 2?x ，故此時(shí) k的取值范圍是 2??k 。 從以上兩個(gè)實(shí)際案例可以看出，合理、靈活、巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題，可以將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，有事半功倍之效。當(dāng)然能有效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想必須具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，熟練的數(shù)學(xué)基本技能和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，這些都有賴于教師在日常的教學(xué)實(shí)踐中堅(jiān)持不懈地對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練，才能逐步得到提高。 數(shù)形結(jié)合在解決方程問題中的應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合的理 論實(shí)質(zhì)是從理論的抽象走向思維的具體，只有數(shù)和形的有機(jī)結(jié)合，抽象的方程才具有實(shí)際意義，學(xué)生在運(yùn)用方程的概念分析問題時(shí)，其思維才會(huì)有所依托，有所憑借，變抽象思維為形象思維，順利解決問題。下面的幾個(gè)例題將從對(duì)原方程進(jìn)行簡單變換的角度入手，根據(jù)對(duì)應(yīng)圖形的性質(zhì)進(jìn)行討論，其特點(diǎn)是“簡潔、直觀”，能夠直接控制自己思維的正誤，而且可以加深對(duì)基本概念的理解，加強(qiáng)對(duì)基本知識(shí)與基本技能的靈活運(yùn)用 [11]。 例 ：當(dāng) 10 ??k 時(shí)，關(guān)于 x的方程 kkxx ??? |1| 2 的解的個(gè)數(shù)是多少？ xy 1 0 1|1| 2xy ??kkxy ?? 圖 函數(shù)圖像 5 分析：此題若直接求解將顯得非常困難，特別是原方程中包含有絕對(duì)值運(yùn)算符號(hào)。但聯(lián)想到方程解的個(gè)數(shù)即為相關(guān)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可由“數(shù)”想到“形”，把求方程解的個(gè)數(shù)問題看作是求函數(shù) |1| 2xy ?? 與 kkxy ?? 的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中分別作出 |1| 2xy ?? 與 )10( ???? kkkxy 的圖像（如圖 ）即可得出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而可知原方程解的個(gè)數(shù)是三個(gè)。 例 ：當(dāng) m 取何值時(shí)，方程 )22(0s ins in 2 ?? ?????? xmxx 有唯一解？有兩解？無解？ 411 1?2?121?2?my ? 圖 函數(shù)圖象 分析：原方程即 )22(s ins in 2 ?? ?????? xmxx 。令
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