數(shù)形結合例題選集(編輯修改稿)
2025-04-21 02:55 本頁面
【文章內容簡介】 函數(shù)的綜合運用：例1 （14十三校聯(lián)考）已知f（x）=asin2x+bcos2x（a、b為常數(shù)），若對于任意答案：x=解析：根據(jù)“若對于任意”可知，當x=時，函數(shù)圖像取最低點，再結合函數(shù)解析式可知函數(shù)周期為，因為函數(shù)的最值橫坐標與相鄰零點之間相差個周期，即，所以在區(qū)間[0，]內的解（即在區(qū)間[0，]內的零點）為x=。評注：本題看似復雜，因為有字母a、b，但只要理解了“三角函數(shù)的最值橫坐標與相鄰零點急間相差個周期”這樣的圖像性質，結合圖像原理，就迎刃而解了。例2 （14閘北）設a0且a1，已知函數(shù)f（x）=至少有5個零點，則a的取值范圍為答案：（0，1）（1，2）解析：就是求函數(shù)上的交點個數(shù)，分兩種情況：（1）當0a1時，在兩個函數(shù)圖像有無數(shù)個交點，如下圖所示：所以0a1時，滿足至少有5個交點（2）當a1時，如下圖所示，在要至少5個交點，在x=1處要大于0即2a0，a2，滿足至少有5個交點。評注：這是一道典型的數(shù)形結合的題型，將零點問題轉化成函數(shù)交點個數(shù)問題，注意理解題意、審清題意及數(shù)與形之間的轉化。例3 （14虹口）函數(shù)f（x）=2sin與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標之和為答案：17解析：畫出函數(shù)f（x）=2sin與函數(shù)的圖像，如下圖所示：這倆圖像都是關于點（1，0）對稱，所以它們的交點也是關于點（1，0）對稱，即一對對稱交點的橫坐標之和為2，總共有8對關于點（1，0）對稱的點，再加上（1，0）點本身，即所有交點的橫坐標之和為17。評注：本題首先要熟悉函數(shù)的圖像變換，精確畫出函數(shù)圖像，然后再研究交點的特性，在這道題中，交點關于點（1，0）對稱的，在這個前提下，求橫坐標之和就轉化成簡單的中點問題。例4 已知函數(shù)y=f（x），任取tR，定義集合：，}，設，記（1）若函數(shù)f（x）=x，則h（1）=（2）若函數(shù)f（x）=sin，則h（t）的最大值為答案：（1）2；（2）2解析：定義的意思是函數(shù)y=f（x）在以定點P（點P在函數(shù)圖像上）為圓心半徑為的圓內的部分，這部分函數(shù)圖像的值域即（1）定點P（1，1），如下圖所示，藍色實線段部分為符合定義的圖像部分，這部分圖像最大值為2，最小值為0，所以h（1）=2（2）對于f（x）=sin，函數(shù)最大值與最小值之差2，如下圖所示，通過理解觀察，可得出能夠同時包含最大值和最小值，所以h（t）的最大值為2，此時t=2k，k。評注：這是一道理解性的定義體型，理解題目的定義很重要，然后結合函數(shù)圖像分析就不難了。例5 （14閔行）對于函數(shù)f（x）=，有以下四個命題：①任取恒成立；②f（x）=2k
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