數(shù)形結(jié)合例題選集(編輯修改稿)
2025-04-21 02:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 函數(shù)的綜合運(yùn)用：例1 （14十三校聯(lián)考）已知f（x）=asin2x+bcos2x（a、b為常數(shù)），若對(duì)于任意答案：x=解析：根據(jù)“若對(duì)于任意”可知，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)圖像取最低點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)解析式可知函數(shù)周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的最值橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)之間相差個(gè)周期，即，所以在區(qū)間[0，]內(nèi)的解（即在區(qū)間[0，]內(nèi)的零點(diǎn)）為x=。評(píng)注：本題看似復(fù)雜，因?yàn)橛凶帜竌、b，但只要理解了“三角函數(shù)的最值橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)急間相差個(gè)周期”這樣的圖像性質(zhì)，結(jié)合圖像原理，就迎刃而解了。例2 （14閘北）設(shè)a0且a1，已知函數(shù)f（x）=至少有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為答案：（0，1）（1，2）解析：就是求函數(shù)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分兩種情況：（1）當(dāng)0a1時(shí)，在兩個(gè)函數(shù)圖像有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：所以0a1時(shí)，滿足至少有5個(gè)交點(diǎn)（2）當(dāng)a1時(shí)，如下圖所示，在要至少5個(gè)交點(diǎn)，在x=1處要大于0即2a0，a2，滿足至少有5個(gè)交點(diǎn)。評(píng)注：這是一道典型的數(shù)形結(jié)合的題型，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意理解題意、審清題意及數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化。例3 （14虹口）函數(shù)f（x）=2sin與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為答案：17解析：畫(huà)出函數(shù)f（x）=2sin與函數(shù)的圖像，如下圖所示：這倆圖像都是關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，所以它們的交點(diǎn)也是關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，即一對(duì)對(duì)稱交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2，總共有8對(duì)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱的點(diǎn)，再加上（1，0）點(diǎn)本身，即所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為17。評(píng)注：本題首先要熟悉函數(shù)的圖像變換，精確畫(huà)出函數(shù)圖像，然后再研究交點(diǎn)的特性，在這道題中，交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱的，在這個(gè)前提下，求橫坐標(biāo)之和就轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的中點(diǎn)問(wèn)題。例4 已知函數(shù)y=f（x），任取tR，定義集合：，}，設(shè)，記（1）若函數(shù)f（x）=x，則h（1）=（2）若函數(shù)f（x）=sin，則h（t）的最大值為答案：（1）2；（2）2解析：定義的意思是函數(shù)y=f（x）在以定點(diǎn)P（點(diǎn)P在函數(shù)圖像上）為圓心半徑為的圓內(nèi)的部分，這部分函數(shù)圖像的值域即（1）定點(diǎn)P（1，1），如下圖所示，藍(lán)色實(shí)線段部分為符合定義的圖像部分，這部分圖像最大值為2，最小值為0，所以h（1）=2（2）對(duì)于f（x）=sin，函數(shù)最大值與最小值之差2，如下圖所示，通過(guò)理解觀察，可得出能夠同時(shí)包含最大值和最小值，所以h（t）的最大值為2，此時(shí)t=2k，k。評(píng)注：這是一道理解性的定義體型，理解題目的定義很重要，然后結(jié)合函數(shù)圖像分析就不難了。例5 （14閔行）對(duì)于函數(shù)f（x）=，有以下四個(gè)命題：①任取恒成立；②f（x）=2k
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