20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修5課時(shí)作業(yè)6應(yīng)用舉例第2課時(shí)正、余弦定理的綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-01-03 00:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 cosAsinA ＝ 2 63 .故 cosA＝ 63 . (2)由 (1)知， cosA＝ 63 ，所以 sinA＝ 1－ cos2A＝ 33 . 又因?yàn)?∠ B＝ 2∠ A，所以 cosB＝ 2cos2A－ 1＝ 13. 所以 sinB＝ 1－ cos2B＝ 2 23 . 在 △ ABC中， sinC＝ sin(A＋ B)＝ sinAcosB＋ cosAsinB＝ 5 39 . 所以 c＝ asinCsinA＝ 5. 5． (2021178。 江西 )在 △ ABC中，角 A， B， C所對(duì)的邊分別為 a， b， c，已知 cosC＋ (cosA－ 3sinA)cosB＝ 0. (1)求角 B的大??； (2)若 a＋ c＝ 1，求 b的取值范圍． 解析 (1)由已知得－ cos(A＋ B)＋ cosAcosB－ 3sinAcosB＝ 0，即有 sinAsinB－ 3sinAcosB＝ 0. 因?yàn)?sinA≠0 ，所以 sinB－ 3cosB＝ 0. 又 cosB≠0 ，所以 tanB＝ 3，又 0Bπ ，所以 B＝ π3 . (2)由余弦定理，有 b2＝ a2＋ c2－ 2accosB. 因?yàn)?a＋ c＝ 1， cosB＝ 12，所以 b2＝ 3(a－ 12)2＋ 14. 又 0a1，于是有 14≤ b21，即 12≤ b1. 6． (2021178。 四川 )在 △ ABC中，角 A， B， C的 對(duì)邊分別為 a， b， c，且 2cos2A－ B2 cosB－sin(A－ B)sinB＋ cos(A＋ C)＝－ 35， (1)求 cosA的值； (2)若 a＝ 4 2， b＝ 5，求向量 BA→在 BC→方向上的投影． 解析 (1)由 2cos2A－ B2 cosB－ sin(A－ B)sinB＋ cos(A＋ C)＝－ 35，得 [cos(A－ B)＋1]cosB－ sin(A－ B)sinB－ cosB＝－ 35， 即 cos(A－ B)cosB－ sin(A－ B)sinB＝－ 35. 則 cos(A－ B＋ B)＝－ 35，即 cosA＝－ 35. (2)由 cosA＝－ 35， 0Aπ ，得 sinA＝ 45. 由正弦定理，有 asinA＝ bsinB，所以， sinB＝ bsinAa ＝ 22 . 由題知 ab，則 AB，故 B＝ π4 . 根據(jù)余弦定理，有 (4 2)2＝ 52＋ c2－ 2179。5 c179。( － 35)，解得 c＝ 1或 c＝－ 7(舍去 )． 故向量 BA→在 BC→方向上的投影為 |BA→|cosB＝ 22 . 7． (2021178。 重慶 )在 △ ABC中，內(nèi)角 A， B， C的對(duì)邊分別為 a， b， c，且 a2＝ b2＋ c2＋ 3bc. (1)求 A； (2)設(shè) a＝ 3， S為 △ ABC的面積，求 S＋ 3cosBcosC的最大值，并指出此時(shí) B的值． 解析 (1)由余弦定理，得 cosA＝ b2＋ c2－ a22bc ＝－ 3bc2bc ＝－32 . 又因 0Aπ ，所以 A＝ 5π6 . (2)由 (1)得 sinA＝ 12，又由正弦定理及 a＝ 3，得 S＝ 12bcsinA＝ 12178。 asinBsinA178。 asinC＝ 3sinBsinC. 因此， S＋ 3cosBcosC＝ 3(sinBsinC＋ cosBcosC)＝ 3cos(B－ C)． 所以，當(dāng) B＝ C，即 B＝ π － A2 ＝ π12時(shí)， S＋ 3cosBcosC取最大值 3. 8． (2021178。 新課標(biāo)全國 )已知 a， b， c分別為 △ ABC三個(gè)內(nèi)角 A， B， C的對(duì)邊， acosC＋3asinC－ b－ c＝ 0. (1)求 A； (2)若 a＝ 2， △ ABC的面積為 3，求 b， c. 解析 (1)由 acosC＋ 3asinC－ b－ c＝ 0及正弦定理，得 sinAcosC＋ 3sinAsinC－ sinB－ sinC＝ 0. 因?yàn)?B＝ π － A－ C， 所以 3sinAsinC－ cosAsinC－ sinC＝ 0. 由于 sinC≠0 ，所以 sin(A－ π6 )＝ 12. 又 0Aπ ，故 A＝ π3 . (2)△ ABC的面積 S＝ 12bcsinA＝ 3，故 bc＝ 4. 而 a2＝ b2＋ c2－ 2bcosA，故 b2＋ c2＝ b＝ c＝ 2. 9． (2021178。 遼寧 )在 △ ABC中，角 A， B， C的對(duì)邊分別為 a， b， A， B， C成等差數(shù)列． (1)求 cosB的值； (2)邊 a， b， c成等比數(shù)列，求 sinAsinC的值． 解析 (1)由已知 2B＝ A＋ C， A＋ B＋ C＝ 180176。 ，解得 B＝ 60176。 ，所以 cosB＝ 12. (2)方法一 由已知 b2＝ ac，及 cosB＝ 12， 根據(jù)正弦定理，得 sin2B＝ sinAsinC. 所以 sinAsinC＝ 1－ cos2B＝ 34. 方法二 由 已知 b2＝ ac，及 cosB＝ 12， 根據(jù)余弦定理，得 cosB＝ a2＋ c2－ ac2ac ，解得 a＝ c. 所以 A＝ C＝ B＝ 60176。 ，故 sinAsinC＝ 34. 1．已知 a， b， c分別是 △ ABC的三個(gè)內(nèi)角 A， B， C所對(duì)的邊．若 a＝ 1， b＝ 3， A＋ C＝ 2B，則 sinC＝ ________. 答案 1 解析 由 A＋ C＝ 2B，且 A＋ B＋ C＝ π 得
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