20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修5課時(shí)作業(yè)6應(yīng)用舉例第2課時(shí)正、余弦定理的綜合應(yīng)用(存儲(chǔ)版)
【正文】 1)因?yàn)?sin2A＝ ( 32 cosB＋ 12sinB)( 32 cosB－ 12sinB)＋ sin2B＝ 34cos2B－ 14sin2B＋sin2B＝ 34， 所以 sinA＝ 177。sin A＝ 1022178。 22 ＝ 13. 11．已知函數(shù) f(x)＝ 2sinxcos2φ2 ＋ cosxsinφ － sinx(0φ π) 在 x＝ π 處取最小值． (1)求 φ 的值； (2)在 △ ABC中， a， b， c分別是角 A， B， C 的對(duì)邊．已知 a＝ 1， b＝ 2， f(A)＝ 32 ，求角 C. 解析 (1)f(x)＝ 2sinx178。 B45176。 － 3B90176。1179。 － 45176。cos B， 由正弦定理知 ACsinB＝ BCsinA， 從而 sinBcosA＝ 3sinAcosB. 又因?yàn)?0A＋ Bπ ， 所以 cosA0， cosB0. 所以 tanB＝ 3tanA. (2)因?yàn)?cosC＝ 55 ， 0Cπ ， 所以 sinC＝ 1－ cos2C＝ 2 55 . 從而 tanC＝ 2， 于是 tan[π － (A＋ B)]＝ 2， 即 tan(A＋ B)＝－ 2. 亦即 tanA＋ tanB1－ tanAtanB＝－ 2， 由 (1)得 4tanA1－ 3tan2A＝－ 2， 解得 tanA＝ 1或 － 13. 因?yàn)?cosA0，故 tanA＝ 1，所以 A＝ π4 . 7．在 △ ABC中，已知內(nèi)角 A＝ π3 ，邊 BC＝ 2 B＝ x，周長為 y. (1)求函數(shù) y＝ f(x)的解析式和定義域； (2)求 y的最大值． 解析 (1)△ ABC的內(nèi)角和 A＋ B＋ C＝ π. 由 A＝ π3 ， B0， C0，得 0B2π3 應(yīng)用正弦定理，知 AC＝ BCsinAsinB＝ 2 3sinπ3sinx＝ 4sinx， AB＝ BCsinAsinC＝ 4sin(2π3 － x)． 因?yàn)?y＝ AB＋ BC＋ AC， 所以 y＝ 4sinx＋ 4sin(2π3 － x)＋ 2 3(0x2π3 )． (2)因?yàn)?y＝ 4(sinx＋ 32 cosx＋ 12sinx)＋ 2 3 ＝ 4 3sin(x＋ π6 )＋ 2 3(π6 x＋ π6 5π6 )， 所以，當(dāng) x＋ π6 ＝ π2 ，即 x＝ π3 時(shí)， y取得最大值 6 3. 8． (2021178。 BC→. (1)求證 ： tanB＝ 3tanA； (2)若 cosC＝ 55 ， 求 A的值． 解析 (1)證明 ： 因?yàn)?AB→178。 ， ∴????? a＋ b＋ c＝ 18，12absin60176。 OC178。 新課標(biāo)全國 )已知 a， b， c分別為 △ ABC三個(gè)內(nèi)角 A， B， C的對(duì)邊， acosC＋3asinC－ b－ c＝ 0. (1)求 A； (2)若 a＝ 2， △ ABC的面積為 3，求 b， c. 解析 (1)由 acosC＋ 3asinC－ b－ c＝ 0及正弦定理，得 sinAcosC＋ 3sinAsinC－ sinB－ sinC＝ 0. 因?yàn)?B＝ π － A－ C， 所以 3sinAsinC－ cosAsinC－ sinC＝ 0. 由于 sinC≠0 ，所以 sin(A－ π6 )＝ 12. 又 0Aπ ，故 A＝ π3 . (2)△ ABC的面積 S＝ 12bcsinA＝ 3，故 bc＝ 4. 而 a2＝ b2＋ c2－ 2bcosA，故 b2＋ c2＝ b＝ c＝ 2. 9． (2021178。 北京 )在 △ ABC中， a＝ 3， b＝ 2 6， ∠ B＝ 2∠ A. (1)求 cosA的值； (2)若 c的值． 解析 (1)因?yàn)?a＝ 3， b＝ 2 6， ∠ B＝ 2∠ A， 所以在 △ ABC中，由正弦定理，得 3sinA＝ 2 6sin2A. 所以 2sinAcosAsinA ＝ 2 63 .故 cosA＝ 63 . (2)由 (1)知， cosA＝ 63 ，所以 sinA＝ 1－ cos2A＝ 33 . 又因?yàn)?∠ B＝ 2∠ A，所以 cosB＝ 2cos2A－ 1＝ 13. 所以 sinB＝ 1－ cos2B＝ 2 23 . 在 △ ABC中， sinC＝ sin(A＋ B)＝ sinAcosB＋ cosAsinB＝ 5 39 . 所以 c＝ asinCsinA＝ 5. 5． (2021178。 ＋ B)． 故當(dāng) B＝ 30176。 ， 由正弦定理，得 ABsin∠ ADB＝ ADsinB. ∴ AB＝ AD178。 ，故 B＝ C. 所以 △ ABC是等腰的鈍角三角形． 11．在 △ ABC中，已知 B＝ 45176。 解析 ∵ a＝ 2b， a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA. ∴ 2b2＝ b2＋ c2－ 2bccosA， 又 ∵ c2＝ b2＋ 2bc， ∴ cosA＝ 22 ， A＝ 45176。2179。 或 120176。 ACsinA＝ 32 . 即 12179。2 RsinAcosB＝ 2RsinC，即 2sinAcosB＝ sin(A＋ B)＋ sin(A－ B)＝ 2sinAcosB，所以 sin(A＋ B)＋ sin(A－ B)＝ A＋ B＋ C＝ π ，所以 sin(A＋ B)＝ sin(A－ B)＝ 0Aπ ， 0Bπ ，則－ π A－ Bπ. 所以有 A＝ B，則 △ ABC是等腰三角形． 講評(píng) 方法一是轉(zhuǎn)化為三角形的邊的關(guān)系，利用代數(shù)運(yùn)算
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