20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修5課時作業(yè)6 應(yīng)用舉例（第2課時）正、余弦定理的綜合應(yīng)用 -預(yù)覽頁
【正文】 ADC中， AD＝ 10， AC＝ 14， DC＝ 6，由余弦定理，得 cos∠ ADC＝ AD2＋ DC2－ AC22AD178。 ， ∠ ADB＝ 60176。sin ∠ ADBsinB ＝ 10sin60176。2 abcosC， 所以 tanC＝ 0Cπ ，所以 C＝ π3 . (2)由已知 sinA＋ sinB＝ sinA＋ sin(π － C－ A) ＝ sinA＋ sin(2π3 － A)＝ sinA＋ 32 cosA＋ 12sinA ＝ 3sin(A＋ π6 )≤ 3. 當(dāng) △ ABC為正三角形時取等號， 所以 sinA＋ sinB的最大值是 3. 13．在 △ ABC中， a， b， c分別為內(nèi)角 A， B， C的對邊，且 2asinA＝ (2b＋ c)sinB＋ (2c＋ b)sinC. (1)求 A的大小； (2)求 sinB＋ sinC的最大值． 解析 (1)由已知，根據(jù)正弦定理，得 2a2＝ (2b＋ c)b＋ (2c＋ b)c，即 a2＝ b2＋ c2＋ bc.由余弦定理，得 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA. 故 cosA＝－ 12， A＝ 120176。 時， sinB＋ sinC取得最大值 1. ?重點班 178。 遼寧 )在 △ ABC中，內(nèi)角 A， B， C的對邊分別為 a， b， asinBcosC＋ csinBcosA＝ 12b，且 ab，則 ∠ B＝ ( ) 答案 A 解析 根據(jù)正弦定理，得 asinBcosC＋ csinBcosA＝ 12b等價于 sinAcosC＋ sinCcosA＝ 12，即 sin(A＋ C)＝ 12. 又 ab， ∴∠ A＋ ∠ C＝ 5π6 ， ∴∠ B＝ π6 .故選 A項． 2． (2021178。 江西 )在 △ ABC中，角 A， B， C所對的邊分別為 a， b， c，已知 cosC＋ (cosA－ 3sinA)cosB＝ 0. (1)求角 B的大?。? (2)若 a＋ c＝ 1，求 b的取值范圍． 解析 (1)由已知得－ cos(A＋ B)＋ cosAcosB－ 3sinAcosB＝ 0，即有 sinAsinB－ 3sinAcosB＝ 0. 因為 sinA≠0 ，所以 sinB－ 3cosB＝ 0. 又 cosB≠0 ，所以 tanB＝ 3，又 0Bπ ，所以 B＝ π3 . (2)由余弦定理，有 b2＝ a2＋ c2－ 2accosB. 因為 a＋ c＝ 1， cosB＝ 12，所以 b2＝ 3(a－ 12)2＋ 14. 又 0a1，于是有 14≤ b21，即 12≤ b1. 6． (2021178。 重慶 )在 △ ABC中，內(nèi)角 A， B， C的對邊分別為 a， b， c，且 a2＝ b2＋ c2＋ 3bc. (1)求 A； (2)設(shè) a＝ 3， S為 △ ABC的面積，求 S＋ 3cosBcosC的最大值，并指出此時 B的值． 解析 (1)由余弦定理，得 cosA＝ b2＋ c2－ a22bc ＝－ 3bc2bc ＝－32 . 又因 0Aπ ，所以 A＝ 5π6 . (2)由 (1)得 sinA＝ 12，又由正弦定理及 a＝ 3，得 S＝ 12bcsinA＝ 12178。 遼寧 )在 △ ABC中，角 A， B， C的對邊分別為 a， b， A， B， C成等差數(shù)列． (1)求 cosB的值； (2)邊 a， b， c成等比數(shù)列，求 sinAsinC的值． 解析 (1)由已知 2B＝ A＋ C， A＋ B＋ C＝ 180176。 四川 )在 △ ABC中， A、 B 為銳角，角 A、 B、 C所對的邊分別為 a、 b、 c，且sinA＝ 55 ， sinB＝ 1010 . (1)求 A＋ B的值； (2)若 a－ b＝ 2－ 1，求 a、 b、 c的值． 解析 (1)∵ A、 B為銳角， sinA＝ 55 ， sinB＝ 1010 ， ∴ cosA＝ 1－ sin2A＝ 2 55 ， cosB＝ 1－ sin2B＝ 3 1010 . ∴ cos(A＋ B)＝ cosAcosB－ sinAsinB ＝ 2 55 179。cos θ ＝ 12＋ 22－ 2179。1179。 ＝ 6 3，c2＝ a2＋ b2－ 2abcos60176。 AC→＝ 3，得 bccosA＝ 3，所以 bc＝ 5. 因此 S△ ABC＝ 12bcsinA＝ 2. (2)由 (1)知， bc＝ c＝ 1，所以 b＝ 5. 由余弦定理，得 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA＝ 20. 所以 a＝ 2 5. 6． (2021178。 AC→＝ 3BA→178。 BC178。 安徽 )設(shè) △ ABC是銳角三角形， a， b， c分別是內(nèi)角 A， B， C所對邊長，并且sin2A＝ sin(π3 ＋ B)sin(π3 － B)＋ sin2B. (1)求角 A的值； (2)若 AB→178。2 ，得 (c＋ b)2＝ 100，所以 c＋ b＝ 10. 因此， c， b是一元二次方程 t2－ 10t＋ 24＝ 0的兩個根． 解此方程并由 c＞ b知 c＝ 6， b＝ 4. 9． (2021178。 － C)＝ 22 (cosC＋ sinC)＝ 3 1010 . 由正弦定理知 BC＝ ACsinB178。 55 ＝ ＝ 12AB＝ 1. 由余弦定理知 CD＝ BD2＋ BC2－ 2BD178。3 2179。 ， C90176。 ， 解得 30176。.
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