【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＝ ( 100 － x )??????80 －??????20 －23x ＝－23x2＋203x ＋ 6 000 ＝－23( x － 5)2＋ 6 000 ＋503(0 ≤ x ≤ 30) ． 所以，當(dāng) x ＝ 5 ， y ＝503時(shí)， 其面積最大，最大值約為 6 017 m2， 即當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為??????5 ，503時(shí)， 矩形 P F DG 的面積最大，最大值約為 6 017 m2. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 點(diǎn)評(píng) 本題解法較多，而根據(jù)矩形的特點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，用直線方程來(lái)解， 是一種較簡(jiǎn)便的方法． 點(diǎn) P 的位置決定矩形 P F DG 面積的大小，而點(diǎn) P 在線段 AB 上，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足方程x30＋y20＝ 1 ，這樣就可以消去一個(gè)未知量，將面積表示為函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題得解．直線的方程實(shí)質(zhì)上是變 量 x與 y 的函數(shù)關(guān)系，在求一類最值中經(jīng)常用到，如下面的變式題． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 歸納總結(jié) 在斜率存在時(shí)，直線的方程其實(shí)和一次函數(shù)之間可以互化，因此在解決和直線有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)可以考慮借助函數(shù)思想去分析，同時(shí)注意自變量的變化范圍． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 變式題 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P (2 ， 1) 的直線 l 分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于 A ， B 兩點(diǎn)． ( 1) 求 | OA |＋ | OB |的最小值及此時(shí)直線 l 的方程； ( 2) 求 | PA | | PB |的最小值及此時(shí)直線 l 的方程． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 解： 由條件知，直線 l 斜率 k 必存在． 設(shè)直線 l 方程為 y － 1 ＝ k ( x － 2) ，顯然 k 0 ， 當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， y ＝ 1 － 2 k ； y ＝ 0 時(shí)， x ＝ 2 －1k， 所以 A ， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A??????2 －1k， 0 ， B (0 ， 1 －2 k ) ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 1) | OA |＋ | OB |＝ (1 － 2 k ) ＋??????2 －1k ＝ 3 ＋??????－1k＋ ( － 2 k ) ≥ 3 ＋ 2??????－1k （－ 2 k ） ＝ 3 ＋ 2 2 . 當(dāng)且僅當(dāng)－1k＝－ 2 k ，即 k ＝－22時(shí)，等號(hào)成立， 此時(shí)直線方程為 y － 1 ＝－22( x － 2) ． 所以 | OA |＋ | OB |的最小值為 3 ＋ 2 2 ， 此時(shí)直線 l 的方程為 x ＋ 2 y － 2 － 2 ＝ 0. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 2) | PA | | PB |＝??????2 －1k－ 22＋（ 0 － 1 ）2178。 （ 0 － 2 ）2＋（ 1 － 2 k － 1 ）2 ＝ 2??????1 ＋1k2 178。 （ 1 ＋ k2） ＝ 2 2 ＋1k2 ＋ k2 ≥ 2 2 ＋ 21k2 178。 k2＝ 4 ， 當(dāng)且僅當(dāng)1k2 ＝ k2，即 k ＝－ 1 時(shí)，等號(hào)成立． 此時(shí)直線方程為 y － 1 ＝－ ( x － 2) ． 所以 | PA | | PB |的最小值為 4 ， 此時(shí)直 線 l 的方程為 x ＋ y － 3 ＝ 0. 易錯(cuò)究源 15 直線傾斜角 (斜率 )的范圍問(wèn)題 返回目錄 多元提能力 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 [ 2020 襄陽(yáng)調(diào)研 ] 已知點(diǎn) A ( － 1 ， 1) ， B (2 ，－2) ，若直線 l ： x ＋ my ＋ m ＝ 0 與線段 AB 相交 ( 包含端點(diǎn)的情況 ) ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ________ ． 返回目錄 多元提能力 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 錯(cuò)解 m ＝ 0 時(shí)，直線 l 與線段 AB 相交． 當(dāng) m ≠ 0 ， l 的斜率為 k ＝－1m，如圖 8 － 42 － 2 ，直線 l 過(guò)點(diǎn) P (0 ，－ 1) ，設(shè)直線 PA 、 PB 、 l 的傾斜角分別為 α 、 β 、θ ，則有 α θ β ，此時(shí)直線 l 與線 段 AB 相交，而直線 PA 的斜率為－ 2 ，直線 PB 的斜率是－12，故－ 2 －1m －12，所以 m＝ 0 或12 m 2. [ 錯(cuò)因 ] 直線 l 與線段 AB 相交時(shí)，其傾斜角的范圍不是 α θ β ，錯(cuò)因是沒(méi)有用函數(shù) k ＝ ta n α 的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)斜率和傾斜角之間的關(guān)系． 返回目錄 多元提能力 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 正解 ] m ＝ 0 時(shí)，直線 l ： x ＝ 0 與線段 AB 相交； 當(dāng) m ≠0 ，直線 l 的斜率為 k ＝－1m，如圖 8 － 42 － 2 ，且直線 l 恒過(guò)點(diǎn) P (0 ，－ 1) ． 設(shè)直線 PA ， PB ， l 的傾斜角分別為 α ， β ， θ ， 當(dāng) l 從直線 PB 繞點(diǎn) P 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線 PA 時(shí)， θ ∈ [0176。 ， α ] ∪ [ β ， 180 176。 )( α ， β 90 176。 ) ， 返回目錄 多元提能力 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性知 k ≤ kPA＝－ 2 或 k ≥ kPB＝－12，即－1m≤ － 2 或－1m≥ －12，解得 0 m ≤12或 m ≥ 2 或 m 0 . 綜上得 m ∈??????－ ∞ ，12∪ [2 ，＋ ∞ ) ． 返回目錄 多元提能力 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 自我檢評(píng) ( 1) 直線 l 經(jīng)過(guò) A (2 ， 1) ， B (1 ， m2)( m ∈ R ) 兩點(diǎn)，那么直線 l 的傾斜角 α 的取值范圍是 ( ) A ． 0 ≤ α π B ． 0 ≤ α ≤π4或π2 α π C ． 0 ≤ α ≤π4 D.π4≤ α π2或π2 α π ( 2) 直線 x － 2 c os α y ＋ 3 ＝ 0????????α ∈????????π6，π3的傾斜角的變化范圍是 ( ) A.????????π6，π4 B.????????π6，π3 C.????????π4，2 π3 D.????????π4，π3 返回目錄 多元提能力 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) A [ 解析 ] ( 1) 直線 l 的斜率 k ＝m2－ 11 － 2＝ 1 － m2≤ 1 ，又直線 l 的傾斜角為 α ，則有 ta n α ≤ 1 ，即 ta n α 0 或 0 ≤ ta n α ≤ 1 ，所以π2 α π 或 0 ≤ α ≤π4. 故選 B. 返回目錄 多元提能力 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 2) 直線 x － 2 c os α y ＋ 3 ＝ 0 的斜率 k ＝12c o s α， ∵ α ∈????????π6，π3， ∴12≤ c o s α ≤32. 故 k ＝12c o s α∈????????33， 1 . 設(shè)直線的傾斜角為 θ ，則有 tan θ ∈????????33， 1 ， 由 于 θ ∈ [ 0 ， π ) ， ∴ θ ∈????????π6，π4. 備選理由 求直線方程是本講的主要內(nèi)容，而直線方程的各種形式的使用范圍和注意條件是學(xué)生容易忽視的，下面的例 例 2就是針對(duì)直線方程的兩點(diǎn)式和截距式而設(shè)置的．例 3是直線方程與證明的綜合應(yīng)用題，意在提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力． 返回目錄 教師備用題 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 返回目錄 教師備用題 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 1 過(guò)兩點(diǎn) A (5 ， 1) 和 B ( m ， 3) 的直線方程是________ ． [ 答案 ] x － 5 ＝ 0 或 2 x － ( m － 5) y ＋ m － 15 ＝ 0 返回目錄 教師備用題 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 解析 ] 當(dāng) m ≠ 5 時(shí)，由直線方程的兩點(diǎn)式得y － 13 － 1＝x － 5m － 5，即 2 x － ( m － 5) y ＋ m － 15 ＝ 0 ；當(dāng) m ＝ 5 時(shí)，直線方程為 x － 5 ＝ 0. 返回目錄 教師備用題 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 2 直線過(guò)點(diǎn) ( － 3 ， 4) ，且在兩坐標(biāo)軸上的截距 之和為 12 ，則該直線方程為 ________ ． 返回目錄 教師備用題 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 答案 ] 4 x － y ＋ 16 ＝ 0 或 x ＋ 3 y － 9 ＝ 0. [ 解析 ] 由題設(shè)知截距不為 0 ， 設(shè)直線方程為xa＋y12 － a＝ 1 ， 從而－ 3a＋412 － a＝ 1 ，解得 a ＝－ 4 或 a ＝ 9. 故所求直線方程為 4 x － y ＋ 16 ＝ 0 或 x ＋ 3 y － 9 ＝ 0. 返回目錄 教師備用題 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 3 已知三點(diǎn) A (2 ， 2) ， B ( a ， 0 ) ， C (0 ， b )( ab ≠ 0) 共線，求證：1a＋1b為定值． 返回目錄 教師備用題 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 證明： 方法一：因?yàn)槿c(diǎn)共線， 所以 kAB＝ kAC，0 － 2a － 2＝b － 20 － 2， ( a － 2) ( b － 2) ＝ 4 ，展開(kāi)得 ab ＝ 2( a ＋ b ) ， 所以1a＋1b＝b ＋ aab＝a ＋ b2 （ a ＋ b ）＝12( 定值 ) ． 方法二：根據(jù)直線的截距式 方程，經(jīng)過(guò) B ， C 的直線方程是xa＋yb＝ 1 ，由于 A ， B ， C 三點(diǎn)共線，故點(diǎn) A 在經(jīng)過(guò) B ， C的直線上，點(diǎn) A 的坐標(biāo)適合這個(gè)方程，代入得2a＋2b＝ 1 ，所以1a＋1b＝12( 定值 ) ． 返回目錄 教師備用題 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 點(diǎn)評(píng) A ， B ， C 三點(diǎn)共線問(wèn)題借助斜率來(lái)解決，只需保證 kAB＝ kAC；也可以根據(jù)其中一個(gè)點(diǎn)在另外兩點(diǎn)確定的直線上解決． 第 43講 兩直線的位置關(guān)系 雙向固基礎(chǔ) 點(diǎn)