時(shí)間序列分析(全)(編輯修改稿)
2025-03-21 11:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (t n))， ))t(X),t(Xcov ()t,t(C,))t,t(C( jijinnji ?? ?? (2) 正態(tài)過程的幾個(gè)重要性質(zhì) (3) (i) 正態(tài)過程的統(tǒng)計(jì)特性由它的均值函數(shù) m(t)及自協(xié)方差函 (4) 數(shù) C(t i, t j)或相關(guān)函數(shù) R(t i, t j), i, j=1,,n完全確定 。 (ii) 對(duì)應(yīng)于正態(tài)過程的任一 n維隨機(jī)向量，其 互不相關(guān)性等 價(jià)于相互獨(dú)立性 。 (iii) 正態(tài)過程的任 正態(tài)性在線性變換下保持不變 。 這一性質(zhì)告訴我們：若隨機(jī)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，則當(dāng)輸入 (激勵(lì) )是正態(tài)過程時(shí)，其輸出 (響應(yīng) )仍是正態(tài)的 。 維納 (Weiner)過程 (1) 定義 隨機(jī)過程 {W(t)， t ?0 }稱為參數(shù)為 ?2的維納過程， 如果它滿足： (i) W (0) =0， (.)； (ii) W (t)是獨(dú)立增量過程； (iii)對(duì)任何 s, t ?0， W (t)?W (s )~N (0， ?2 |t ? s| )。 (2) 有關(guān) 維納過程的幾個(gè)結(jié)論 (i) 維納過程 {W ， t ?0 }是正態(tài)過程。 當(dāng) ?=1時(shí)，稱 它 為 標(biāo)準(zhǔn) 維納過程 。 (ii) 維納過程 {W (t) ， t ?0 }是馬氏過程，其轉(zhuǎn)移概率密度 （ t s ? 0）是 }.)st(2 )xy(exp {)st(21)y,t。x,s(f)x|y(f222W|W st ?????????? (iii)維納過程 {W ， t ?0 } 的均值函數(shù)、方差函數(shù)和相關(guān) 函數(shù)分別是 1176。 m(t)=E[W(t)]=0。 2176。 D(t)=D[W(t)]=?2。 3176。 R(t1, t2)= ?2 min (t1, t2). 泊松 (Poisson)過程 (1) 概念 隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng) 設(shè) N(t)表示在時(shí)間段 [0 ， t ] 到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)的顧客數(shù)，則 {N(t) ， t ?0 }是隨機(jī)過程。由于狀態(tài)空間 E={0， 1， 2， }， 故 {N(t) ， t ?0 }稱為 計(jì)數(shù)過程 。 由于 N(t)是時(shí)間段 [0 ， t ] 某 事件發(fā)生的次數(shù)，從而 {N(t) ， t ?0 }也稱為 “ 事件流 ” (2) 假設(shè) (i) 零初值 ： N(0)=0； (ii)增量平穩(wěn)性 ： 對(duì)任意 a, t 0， N(a+t)? N(a)的概率與 a無關(guān)，即 P{N(t+?t)? N(t)=k}=P{N(?t)=k}=p k, k=0, 1, 2, (iii)增量獨(dú)立性 ： (iv)單跳躍性 ： 在 時(shí)間段 ?t內(nèi)，某事件發(fā)生兩次或兩次以上 的概率是 ?t 的高階無窮小，即 P{N(?t )?2}=0(?t )； (v) 隨機(jī)性 ： 對(duì)任意的 t 0， 0p0(t)1. (3) 定義 若取非負(fù)整數(shù)值的計(jì)數(shù)過程 {N(t) ， t ?0 }，滿足 條件 (i)~ (v)，則稱 {N(t) ， t ?0 }為 泊松過程 。 定理 3 設(shè) {N(t) ， t ?0 }是泊松過程，則存在 ? 0，使得對(duì) 任意的 t ? 0，有 ?,2,1,0k,e!k )t()t(p~)t(N tkk ??? ???稱為泊松過程的參數(shù)或強(qiáng)度。 (3) 泊松過程的統(tǒng)計(jì)特性 (i) 均 值函數(shù) ： 對(duì)任意 t ?0，有 m(t)=E[N(t)]= E[N(t)?N(0)]=?t； (ii) 相關(guān) 函數(shù) ： 對(duì)于 0?t1t2，有 R(t1, t2)=E[N t1N t2]= ?2 t1t2 +? t1，一般地，對(duì)任意的 t1, t2 ?0，有 R(t1, t2)= ?2 t1t2 +? min{t1, t2}； (iii)協(xié)方差 函數(shù) ： 對(duì)任意的 t1, t2 ?0，有 C(t1, t2)= R(t1, t2)? m(t1) m(t2)= ? min{t1, t2}. (4) 泊松過程的幾個(gè)重要結(jié)論 (i) 泊松過程是馬氏過程 ； 對(duì)于泊松過程 {N(t) ， t ?0 }，設(shè) W1， W2， 分別表示事 件第一次，第二次， 出現(xiàn)的時(shí)間，則稱 W i為事件第 i 次 出現(xiàn)的等待時(shí)間， 而 {W n， n ?1 }為 等待時(shí)間序列 ； 設(shè) T n ， (n ?1) ，表示事件第 n ?1 次出現(xiàn)到 n 次出現(xiàn)之間的時(shí)間間隔， 則稱 {T n ， n ?1}為 到達(dá) 時(shí)間間隔序列 。 T1 T2 T3 Tn t 0 W1 W2 W3 Wn?1 W n (ii) 到達(dá) 時(shí)間間隔序列獨(dú)立同均值為 1/?的指數(shù)分布 ： 設(shè) {T n， n ?1}為參數(shù)為 ?的泊松過程的 到達(dá) 時(shí)間間隔序列，則對(duì) 任意的 n， ??? ???????0t,00t,e)。t(f~T,T,T tiidn21 ? (iii)等待 時(shí)間 W n服從參數(shù)為（ n, ?）的 ?分布 ： 設(shè) {W n， n ?1}為參數(shù)為 ?的泊松過程的 等待 時(shí)間序列，則 W n ~ ? (n, ?)，其密度函數(shù)是 ???????????????0t,00t,e)t()!1n(),n。t(ft1n 四、復(fù)平穩(wěn)過程 定義 設(shè) { Z (t) ，
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