時間序列分析(全)(已修改)
2025-03-11 11:21 本頁面
【正文】 目 錄 ? 第一章 隨機過程簡介 ? 第二章 時間序列分析簡介 ? 第三章 ARMA模型的特性 ? 第四章 平穩(wěn)時間序列的建立 ? 第五章 平穩(wěn)時間序列的預(yù)測 《時間序列分析》 一 .隨機過程理論的產(chǎn)生和發(fā)展 隨機 過程的研究起源于生產(chǎn)、科研中的實際問題，其理論產(chǎn)生于二十世紀(jì)初期。特別是，在1929年由柯爾莫哥洛夫（ ）奠定了概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之后， 隨機 過程理論得到了更快、更深刻的發(fā)展。 二、 隨機過程的應(yīng)用 事實上，在水資源科學(xué)、水利工程、土木工程、電氣、通訊工程、經(jīng)濟管理、理論物理等學(xué)科領(lǐng)域，到處能找到應(yīng)用 隨機過程的實例 。 隨著人們對自然現(xiàn)象的認(rèn)識愈來愈深入， 隨機過程已被廣泛地應(yīng)用于自然、社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，大有 “水銀瀉地?zé)o孔不入” 之勢，并在研究和解決實際課題的過程中起到了重大的作用。 第一節(jié) 隨機過程的 基本概念及分類 ? 隨機過程（ ）的基本概念 ? ? ? ? 多 (兩 )個 復(fù) 概念 (1) 實例 概率論主要研究的對象是 .，即所研究的 隨機試驗的結(jié)果是可用一個或有限個 。 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，有些隨機現(xiàn)象僅用一個或有限個 . 來描述是不夠的，必須用無窮多個 。例如： (i) 某電話交換臺在時段 [0, t]內(nèi)接到的呼喚次數(shù) 是一 個與 t 有關(guān)的 t(?)，對于固定的 t ， X t(?)是 .，它可 取任意的非負(fù)整數(shù) 0， 1， 2， ， 當(dāng) t 在 [0， ?）上變化時， 可得到一族無窮多個 .{X t(?)， t ?[0， ?) } 。 (ii) 考慮某生物群體的發(fā)展過程 。令 X n(?)表示該 群體第 n代成員的個數(shù)，當(dāng) n固定時， X n(?)是 .，它可能取值 0, 1, 2, ， 這時，需要研究的是一列 . {X n(?), n?Z+}。 (iii)懸浮在液面的微粒，由于受到分子的隨機碰撞作雜 亂無章的運動 。令（ X t(?)， Y t(?) ）表示在 t 時刻微粒 的位置，則當(dāng) t 固定時，它是二維 . 。在時段 [a, b]觀測 微粒的運動，便得到 一族無窮多個二維 . {（ X t(?)， Y t(?) ）， t ? [a, b]}， 這就是物理學(xué)中的 布郎 運動 。 (2) 定義 設(shè) (?, F， P)是概率空間， T?R，若 對任意 t ?T，都有 (?, F， P)上的一個 ，則 稱 {X t(?)， t ?T }是 (?, F， P)上的一個 隨機過程 ， 可記為 .。 T稱為 參數(shù)集 ， 通常表示時間 。 物理解釋： X t(?)也可記作 X(t， ?)， X t或 X(t)，表示 在時刻 t 系統(tǒng)的 狀態(tài) 。 X(t)的狀態(tài)全體稱為 狀態(tài)空間 或 相 空間 ， 記為 E或 I。 數(shù)學(xué)解釋： 可認(rèn)為 {X t(?)， t ?T }是定義在 T??上的二 元函數(shù)。當(dāng) t 固定時， X t(?)是 .，當(dāng) ?固定時， X t(?)是 定義在 T上的普通函數(shù)，稱為 隨機過程的 樣本函數(shù) 或 軌道 ， 樣本函數(shù)的 全體稱為 樣本函數(shù) 空間。 有窮維分布函數(shù)族 (1) 定義 給定 隨機過程 {X (t)， t ?T }，則對任 意 n?Z+和 t1,,t n ?T，隨機向量（ X (t1) ,, X (t n )）’ 的分 布函數(shù) }x)t(X,x)t(X:{P)t,t。x,x(F nn11n1n1 ???? ??? ?})(,)({ nn11 xtXxtXP ??? ?稱為 {X (t)， t ?T }的 n維分布函數(shù) ； 這些分布函數(shù)的全體 },),。.,({ ?? ??? ZnTttttxxFF n1n1n1 ???稱為 {X (t)， t ?T }的 有窮維分布函數(shù)族 。 (2) 有窮維分布函數(shù)族的性質(zhì) (i) 對稱性： 對于參數(shù) t1,,t n的任意排列 n1 ii tt ,?(ii)相容性： 當(dāng) mn時 )。,。,(),。,( n1n1iiii ttxxFttxxF n1n1 ???? ? ).,,。,,(),。,( n1mm1m1m1m1 ttttxxFttxxF ?????? ???? 反之，可以證明：給定相容性和對稱性的分布函數(shù)族 F，一定存在概率空間及其上的隨機過程，它的有窮維布 函數(shù)族是 F。這就是著名的柯爾莫哥洛夫 (A. N. Kolmogorov) 定理 (3) 有窮維特征函數(shù)族 稱為 {X (t)， t ?T }的 n維特征函數(shù) ； ???n1kkkn1tXin1tt Ee)(, ),(???? ?? },),({, ????? ZnTtt n1n1tt n1 ??? ???稱為 {X (t)， t ?T }的 有窮維特征函數(shù)族 。 由于 ，所以， 可以通過 窮維特征函數(shù)族來描述它的概率特性。 隨機過程的數(shù)字特征 均值函數(shù) 定義 對于 隨機過程 {X (t)， t ?T }，若對任意 t ?T， EX(t)存在，則稱函數(shù) 由于隨機過程 {X (t ? ?)， t ?T } 是兩個變量 t ? ?的函數(shù)， 故可有兩種取平均的方法。其一是固定 t 后，對 X(t)=X(t ? ?) 取平均，稱為 集平均 或 統(tǒng)計平均 ； 其二是固定 ?后，對樣本 函數(shù) x(t)取平均，稱為 時間平均 。 理論上通常用前者，應(yīng)用 上則常用后者。 TttEXtmtm X ??? ),()()(為 均值函數(shù) 。 自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)與方差函數(shù) 定義 對于 隨機過程 {X (t)， t ?T }，若對任意 t ?T， E[X(t)]
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