時(shí)間序列分析(全)-文庫吧
2025-02-21 11:21 本頁面
【正文】 2存在，則稱函數(shù) TtstmtXsmsXEtsCtsC X ????? ,)]},()()][()({[),(),(為 （自）協(xié)方差函數(shù) 。 TttmtXEtDtD2X ???? ,)]()([)()( 。,)],()([),(),( TtstXsXEtsRtsR X ???分別稱為 （自）相關(guān)函數(shù) 和 方差函數(shù) 。 互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù) 定義 對(duì)于 .{X (t)， t ?T }， {Y (t)， t ?T }，若 對(duì)任意 t ?T， E[X(t)]2 、 E[Y(t)]2存在，則稱函數(shù) TtstmtYsmsXEtsC YXXY ???? ,)]},()()][()({[),(為 . {X (t)， t ?T }與 {Y (t)， t ?T }的 互協(xié)方差函數(shù) 。 。,)],()([),( TtstYsXEtsR XY ??稱為 . {X (t)， t ?T }與 {Y (t)， t ?T }的 互相關(guān)函數(shù) 。 易知 。Tt,s),t(m)s(m)t,s(R)t,s(C YXXYXY ??? 定義 若 CXY(s, t)=0，則稱 .{X (t)， t ?T }與 {Y (t)， t ?T }互不相關(guān) ； 若對(duì)任意的 n,m?Z+，隨機(jī)向量 (X(t1),, X(t n))’與 (Y(s1),, Y(s m))’ 相互獨(dú)立， t1,, t n； s1,,s m ?T ， 則稱 .{X (t)， t ?T }與 {Y (t)， t ?T }相互獨(dú)立 。 易知 .{X (t)， t ?T }與 {Y (t)， t ?T }相互獨(dú)立 ?它們 互不相關(guān)，即 CXY(s, t)=0，亦即 RXY(s, t)=E[X (s)]E[Y (t)]， 反之不然。 .{X (t)， t ?T }與 {Y (t)， t ?T }稱為是 正交 的，若對(duì) 任意的 s ， t ?T，有 E[X (s)Y (t)]=0。 幾個(gè)重要的 ? ? 幾個(gè)重要的 一、隨機(jī)過程的分類 按參數(shù)集 T及狀態(tài)空間 E離散與否分類 可分成四類，如下表所示： 類 別 1 2 3 4 T離散 Y Y N N E離散 Y N Y N 注意 ： 這種分類是 完備的 ， 但是其 概率結(jié)構(gòu)意義 并不明確 。 按 概率結(jié)構(gòu)分類 (1) 獨(dú)立隨機(jī)過程 對(duì)于任意 n個(gè)不同的參數(shù) t1,,t n ?T ， . X(t1),, X(t n) 相互獨(dú)立，這樣的 S. . 的隨機(jī)過程，簡(jiǎn)稱 獨(dú)立隨機(jī)過程 。 (2) 獨(dú)立增量過程 若參數(shù) t1,,t n ?T 滿足 t1 t2 t n ， . 的增量 X(t 2)? X(t1), X(t 3)? X(t2) , , X(t n)? X(tn?1 ) 相互獨(dú)立，這樣的 S. 增量的隨機(jī)過程，簡(jiǎn)稱 獨(dú)立增量過程 。 這種分類也把 S. ： (3) 馬爾可夫過程（馬氏過程） 設(shè)參數(shù) t1,,t n ?T 滿足 t1 t2 t n ， 若 },x)t(X|x)t(X{P}x)t(X,x)t(X|x)t(X{P 1n1nnn111n1nnn ???? ?????? ?則稱該過程為 馬爾可夫過程 ， 簡(jiǎn)稱 “ 馬氏過程 ”。 馬氏過程的特點(diǎn) ：已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)。 (4) 平穩(wěn)隨機(jī)過程 直觀的說：該過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的轉(zhuǎn)移而變化， 其嚴(yán)格的定義及有關(guān)知識(shí)將在后面介紹，簡(jiǎn)稱 平穩(wěn) 過程 二、幾個(gè)重要的隨機(jī)過程 獨(dú)立增量過程 若 {X (t) ， t ?T }是 獨(dú)立 增量過程，則對(duì) t1 t2 t n ， . 的增量 X(t 2)? X(t1), X(t 3)? X(t2) , , X(t n)? X(tn?1 ) 相互獨(dú)立。 該過程也叫 ” 可加過程 “。 此時(shí)，限制 T=[0， ?），且讓 X (0)=0， (.)。于是，對(duì)于 0=t0 t1 t2 t n ，有 .)]()([)(11?????kiiik tXtXtX 若對(duì)任意的 ?0，該過程的 增量 X(t+?)? X(t)的概率分布 僅依賴于 ? 而與 t 無關(guān)，則稱其為 齊次（時(shí)齊）獨(dú)立增量過 程 ， 或稱其具有平穩(wěn)增量，即 平穩(wěn)獨(dú)立增量過程 。 關(guān)于 獨(dú)立增量過程有如下兩個(gè)結(jié)論 ： 定理 1 若 {X (t) ， t ?T }是 獨(dú)立 增量過程， 且 X (0)=0， (.)，則該過程必為馬氏過程 。 定理 2 獨(dú)立 增量過程的有窮維分布族可由其一維分布 和增量的分布所確定。 正態(tài)過程 (1) 定義 若過程 {X (t) ， t ?T }任意有窮維分布都是正態(tài) 的，則稱該過程為 正態(tài)過程 或 高斯 (Gauss)過程 。 由于對(duì)任意 n?Z+, t1, , t n ?T ，隨機(jī)向量 (X(t1),, X(t n))’ 是一個(gè) n維正態(tài)隨機(jī)向量，故第一章中關(guān)于正態(tài)隨機(jī) 向量的結(jié)論此處均可加以應(yīng)用。事實(shí)上，它的概率密度是 )}mx()39。mx(21exp{||)2( 1)t,t。x,x(f 12/12nn1n1 ????? ?????其中， x’ =(x1,,x n )， m’ =(m(t1),,m
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