時(shí)間序列分析(全)-wenkub
2023-03-22 11:21:05 本頁面
【正文】 ： 對(duì)于參數(shù) t1, X(t)的狀態(tài)全體稱為 狀態(tài)空間 或 相 空間 ， 記為 E或 I。在時(shí)段 [a, b]觀測(cè) 微粒的運(yùn)動(dòng)，便得到 一族無窮多個(gè)二維 . {（ X t(?)， Y t(?) ）， t ? [a, b]}， 這就是物理學(xué)中的 布郎 運(yùn)動(dòng) 。 當(dāng) t 在 [0， ?）上變化時(shí)， 可得到一族無窮多個(gè) .{X t(?)， t ?[0， ?) } 。 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，有些隨機(jī)現(xiàn)象僅用一個(gè)或有限個(gè) . 來描述是不夠的，必須用無窮多個(gè) 。特別是，在1929年由柯爾莫哥洛夫（ ）奠定了概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之后， 隨機(jī) 過程理論得到了更快、更深刻的發(fā)展。 二、 隨機(jī)過程的應(yīng)用 事實(shí)上，在水資源科學(xué)、水利工程、土木工程、電氣、通訊工程、經(jīng)濟(jì)管理、理論物理等學(xué)科領(lǐng)域，到處能找到應(yīng)用 隨機(jī)過程的實(shí)例 。例如： (i) 某電話交換臺(tái)在時(shí)段 [0, t]內(nèi)接到的呼喚次數(shù) 是一 個(gè)與 t 有關(guān)的 t(?)，對(duì)于固定的 t ， X t(?)是 .，它可 取任意的非負(fù)整數(shù) 0， 1， 2， (ii) 考慮某生物群體的發(fā)展過程 。 這時(shí)，需要研究的是一列 . {X n(?), n?Z+}。 (2) 定義 設(shè) (?, F， P)是概率空間， T?R，若 對(duì)任意 t ?T，都有 (?, F， P)上的一個(gè) ，則 稱 {X t(?)， t ?T }是 (?, F， P)上的一個(gè) 隨機(jī)過程 ， 可記為 .。 數(shù)學(xué)解釋： 可認(rèn)為 {X t(?)， t ?T }是定義在 T??上的二 元函數(shù)。, X (t n )）’ 的分 布函數(shù) }x)t(X,x)t(X:{P)t,t。,(),。這就是著名的柯爾莫哥洛夫 (A. N. Kolmogorov) 定理 (3) 有窮維特征函數(shù)族 稱為 {X (t)， t ?T }的 n維特征函數(shù) ； ???n1kkkn1tXin1tt Ee)(, ),(???? ?? },),({, ????? ZnTtt n1n1tt n1 ??? ???稱為 {X (t)， t ?T }的 有窮維特征函數(shù)族 。 理論上通常用前者，應(yīng)用 上則常用后者。,)],()([),(),( TtstXsXEtsRtsR X ???分別稱為 （自）相關(guān)函數(shù) 和 方差函數(shù) 。 易知 。, X(t n))’與 (Y(s1), 幾個(gè)重要的 ? ? 幾個(gè)重要的 一、隨機(jī)過程的分類 按參數(shù)集 T及狀態(tài)空間 E離散與否分類 可分成四類，如下表所示： 類 別 1 2 3 4 T離散 Y Y N N E離散 Y N Y N 注意 ： 這種分類是 完備的 ， 但是其 概率結(jié)構(gòu)意義 并不明確 。,t n ?T ， . X(t1), (2) 獨(dú)立增量過程 若參數(shù) t1, t n ， 若 },x)t(X|x)t(X{P}x)t(X,x)t(X|x)t(X{P 1n1nnn111n1nnn ???? ?????? ?則稱該過程為 馬爾可夫過程 ， 簡(jiǎn)稱 “ 馬氏過程 ”。, X(t n)? X(tn?1 ) 相互獨(dú)立。 定理 2 獨(dú)立 增量過程的有窮維分布族可由其一維分布 和增量的分布所確定。, X(t n))’ 是一個(gè) n維正態(tài)隨機(jī)向量，故第一章中關(guān)于正態(tài)隨機(jī) 向量的結(jié)論此處均可加以應(yīng)用。,n完全確定 。 維納 (Weiner)過程 (1) 定義 隨機(jī)過程 {W(t)， t ?0 }稱為參數(shù)為 ?2的維納過程， 如果它滿足： (i) W (0) =0， (.)； (ii) W (t)是獨(dú)立增量過程； (iii)對(duì)任何 s, t ?0， W (t)?W (s )~N (0， ?2 |t ? s| )。x,s(f)x|y(f222W|W st ?????????? (iii)維納過程 {W ， t ?0 } 的均值函數(shù)、方差函數(shù)和相關(guān) 函數(shù)分別是 1176。 3176。 t 0 W1 W2 W3 t(ft1n 四、復(fù)平穩(wěn)過程 定義 設(shè) { Z (t) ， t ?T }是復(fù)隨機(jī)過程，其一、二階矩存 在，若 mZ(t)=E[Z(t)]=mZ（復(fù)常數(shù)）， t ?T， 且 RZ(t1, t2)僅與 t1 ? t2有關(guān)，即 2121Z21Z2121Z tt,Tt,t),(R)tt(R])t(Z)t(Z[E)t,t(R ?????????則稱 { Z (t) ， t ?T }是 復(fù)平穩(wěn)過程 （寬）。此類過程中，最重要的是“ 平穩(wěn)過程 ”。,tn ?T, n?1 }，若對(duì) ?n 和 t1,xn: t1 +?, 嚴(yán)平穩(wěn)過程的特點(diǎn) ： (1) 若有概率密度，則式 ()等價(jià)于： f (x1,tn +? )。這類過程的理論稱為 平穩(wěn)過程的 相關(guān)理論 ，它涉及的平穩(wěn)過程稱為 寬平穩(wěn)過程 。 四、復(fù)平穩(wěn)過程 定義 設(shè) { Z (t) ， t ?T }是復(fù)隨機(jī)過程，其一、二階矩存 在，若 mZ(t)=E[Z(t)]=mZ（復(fù)常數(shù)）， t ?T， 且 RZ(t1, t2)僅與 t1 ? t2有關(guān)，即 1221122121 ,),()(])()([),( ttTttRttRtZtZEtt ZZZ ??????? ??則稱 { Z (t) ， t ?T }是 復(fù)平穩(wěn)過程 （寬）。, ?n，有 ? ? ????j
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