時(shí)間序列分析(全)-文庫(kù)吧資料
2025-03-07 11:21本頁(yè)面
【正文】 設(shè) {T n， n ?1}為參數(shù)為 ?的泊松過(guò)程的 到達(dá) 時(shí)間間隔序列，則對(duì) 任意的 n， ??? ???????0t,00t,e)。 t 0 W1 W2 W3 T1 T2 T3 分別表示事 件第一次，第二次， 定理 3 設(shè) {N(t) ， t ?0 }是泊松過(guò)程，則存在 ? 0，使得對(duì) 任意的 t ? 0，有 ?,2,1,0k,e!k )t()t(p~)t(N tkk ??? ???稱為泊松過(guò)程的參數(shù)或強(qiáng)度。 由于 N(t)是時(shí)間段 [0 ， t ] 某 事件發(fā)生的次數(shù)，從而 {N(t) ， t ?0 }也稱為 “ 事件流 ” (2) 假設(shè) (i) 零初值 ： N(0)=0； (ii)增量平穩(wěn)性 ： 對(duì)任意 a, t 0， N(a+t)? N(a)的概率與 a無(wú)關(guān)，即 P{N(t+?t)? N(t)=k}=P{N(?t)=k}=p k, k=0, 1, 2, 由于狀態(tài)空間 E={0， 1， 2， 3176。 2176。x,s(f)x|y(f222W|W st ?????????? (iii)維納過(guò)程 {W ， t ?0 } 的均值函數(shù)、方差函數(shù)和相關(guān) 函數(shù)分別是 1176。 當(dāng) ?=1時(shí)，稱 它 為 標(biāo)準(zhǔn) 維納過(guò)程 。 維納 (Weiner)過(guò)程 (1) 定義 隨機(jī)過(guò)程 {W(t)， t ?0 }稱為參數(shù)為 ?2的維納過(guò)程， 如果它滿足： (i) W (0) =0， (.)； (ii) W (t)是獨(dú)立增量過(guò)程； (iii)對(duì)任何 s, t ?0， W (t)?W (s )~N (0， ?2 |t ? s| )。 (iii) 正態(tài)過(guò)程的任 正態(tài)性在線性變換下保持不變 。,n完全確定 。,x n )， m’ =(m(t1),mx(21exp{||)2( 1)t,t。, X(t n))’ 是一個(gè) n維正態(tài)隨機(jī)向量，故第一章中關(guān)于正態(tài)隨機(jī) 向量的結(jié)論此處均可加以應(yīng)用。 由于對(duì)任意 n?Z+, t1, 定理 2 獨(dú)立 增量過(guò)程的有窮維分布族可由其一維分布 和增量的分布所確定。 t n ，有 .)]()([)(11?????kiiik tXtXtX 若對(duì)任意的 ?0，該過(guò)程的 增量 X(t+?)? X(t)的概率分布 僅依賴于 ? 而與 t 無(wú)關(guān)，則稱其為 齊次（時(shí)齊）獨(dú)立增量過(guò) 程 ， 或稱其具有平穩(wěn)增量，即 平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程 。 此時(shí)，限制 T=[0， ?），且讓 X (0)=0， (.)。, X(t n)? X(tn?1 ) 相互獨(dú)立。 (4) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 直觀的說(shuō)：該過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的轉(zhuǎn)移而變化， 其嚴(yán)格的定義及有關(guān)知識(shí)將在后面介紹，簡(jiǎn)稱 平穩(wěn) 過(guò)程 二、幾個(gè)重要的隨機(jī)過(guò)程 獨(dú)立增量過(guò)程 若 {X (t) ， t ?T }是 獨(dú)立 增量過(guò)程，則對(duì) t1 t2 t n ， 若 },x)t(X|x)t(X{P}x)t(X,x)t(X|x)t(X{P 1n1nnn111n1nnn ???? ?????? ?則稱該過(guò)程為 馬爾可夫過(guò)程 ， 簡(jiǎn)稱 “ 馬氏過(guò)程 ”。 這種分類也把 S. ： (3) 馬爾可夫過(guò)程（馬氏過(guò)程） 設(shè)參數(shù) t1, t n ， . 的增量 X(t 2)? X(t1), X(t 3)? X(t2) , (2) 獨(dú)立增量過(guò)程 若參數(shù) t1,t n ?T ， . X(t1), 幾個(gè)重要的 ? ? 幾個(gè)重要的 一、隨機(jī)過(guò)程的分類 按參數(shù)集 T及狀態(tài)空間 E離散與否分類 可分成四類，如下表所示： 類 別 1 2 3 4 T離散 Y Y N N E離散 Y N Y N 注意 ： 這種分類是 完備的 ， 但是其 概率結(jié)構(gòu)意義 并不明確 。 易知 .{X (t)， t ?T }與 {Y (t)， t ?T }相互獨(dú)立 ?它們 互不相關(guān)，即 CXY(s, t)=0，亦即 RXY(s, t)=E[X (s)]E[Y (t)]， 反之不然。, t n； s1, X(t n))’與 (Y(s1), 易知 。 。,)],()([),(),( TtstXsXEtsRtsR X ???分別稱為 （自）相關(guān)函數(shù) 和 方差函數(shù) 。 自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)與方差函數(shù) 定義 對(duì)于 隨機(jī)過(guò)程 {X (t)， t ?T }，若對(duì)任意 t ?T， E[X(t)]2存在，則稱函數(shù) TtstmtXsmsXEtsCtsC X ????? ,)]},()()][()({[),(),(為 （自）協(xié)方差函數(shù) 。 理論上通常用前者，應(yīng)用 上則常用后者。 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 均值函數(shù) 定義 對(duì)于 隨機(jī)過(guò)程 {X (t)， t ?T }，若對(duì)任意 t ?T， EX(t)存在，則稱函數(shù) 由于隨機(jī)過(guò)程 {X (t ? ?)， t ?T } 是兩個(gè)變量 t ? ?的函數(shù)， 故可有兩種取平均的方法。這就是著名的柯爾莫哥洛夫 (A. N. Kolmogorov) 定理 (3) 有窮維特征函數(shù)族 稱為 {X (t)， t ?T }的 n維特征函數(shù)
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