【文章內(nèi)容簡介】 計的 絕對誤差 和 置信 區(qū)間 ，假設(shè)抽樣比可以忽略。 3/15/2023 33 抽 樣 調(diào) 查 1111{ ( , ) , , ( , ) }( , ) ( ( , ) , , ( , ) )N N NnnX Y X Yx y x y x y? ??設(shè) 二 維 總 體 ， 樣本 為 ， 如 前 記 號 ：11 ( ) ( )1nx y i is x x y yn? ? ?? ?樣 本 協(xié) 方 差x y x y x yr s s s??樣 本 相 關(guān) 系 數(shù)1c ov ( , ) [ ( ) ( ) ] 。XYfx y E x X y Y Sn?? ? ? ?定 理 ： （ 1 ）（ 2）樣本協(xié)方差是總體協(xié)方差的無偏估計 . （ ， ） （ ） XYxy SsE ?][考慮二維總體 3/15/2023 34 抽 樣 調(diào) 查 證明：仍采用對稱法（ P40證法 1）（ 1） ))((),cov ( YyXxEyx ???])()([11 12? ? ???? n n ji YyXxEn 21 { [ ( ) ( ) ]iiE x X y Yn? ? ??111 ( ) ( )E x X y Yn? ? ?注意樣本分布 111( ( ) ( ) )NiiX X Y YnN ? ??1 XYN SnN??1 1 111 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]( 1 )N N Ni j i in X X Y Y X X Y Yn N N? ? ? ? ? ?? ? ? ?XYXY SnNnSnNN 11 ??? XYSn f?? 1注意為 0 3/15/2023 35 抽 樣 調(diào) 查 （ 1）證法 2： （構(gòu)造性） i i iu x y??,uU 分 別 是 該 變 量 的 樣 本 均 值 和 總 體 均 值 。,u y x? ?Vu ? ? ? ?? ?V y Y x X? ? ? ?? ?V y Y?? ? ? ? ? ? ? ? ?1c ov , 2y x V u V y V x? ? ?????于 是 222112 u y xf SSSn? ??? ??? ? ? 211 1 1 [21Niiif y x Y XnN ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ?22 ]NNiiiiy Y x X??? ? ? ??? ? ? ? ?11 1 2 Niiif y Y x X??? ? ? ?? ?XYSnf?? 1U Y XuU是 簡 單 估 計展開 3/15/2023 36 抽 樣 調(diào) 查 （ 2） 1( ) ( )niix x y y??? ))(())((1YyXxnYyXxnii ?????? ?[]xyEs? 11 ( ) ( )1niiE x X y Yn? ? ?? ? 11( ) ( )1n E x X y Yn? ? ??XYNii SNnnNYYXXNnn)1())((11 1 ??????? ? XYXYXY SSNnnNSNnNn ??????)1()1()1(注意 )()(1YynYyn i ????由（ 1） 3/15/2023 37 抽 樣 調(diào) 查 ? 一、概念與作用 （一）概念 比率（ Ratio）與比例（ Proportion）區(qū)別 （二）作用 167。 比率估計量及其性質(zhì) apn????iixyr一種場合是待估的總體參數(shù) R是兩個變量比值。 如人口密度，恩格爾系數(shù)等。 分子分母均為 . 分子為 . 3/15/2023 38 抽 樣 調(diào) 查 ? 另一種應(yīng)用場合，雖然待估的參數(shù)是某個研究變量的均值或總體總量，它本來可以通過樣本均值加以估計，但是為了提高估計的效率，它通過引進一個輔助變量 xi ，來計算比率，即 ???iixyr再通過這一比率乘以總體已知的輔助變量均值 或總量來達到估計的目的。 3/15/2023 39 抽 樣 調(diào) 查 ? 二、應(yīng)用條件 （ 1）輔助變量（ auxiliary variable）資料易得或已知 （ 2）輔助變量與目標變量之間存在高度相關(guān)性且相關(guān) 性穩(wěn)定。 （ 3）樣本量一般要求比較大 三、簡單隨機抽樣下的比率估計 3/15/2023 40 抽 樣 調(diào) 查 ? （一）定義 比率估計量（ ratio estimator）又稱比估計 。 ????iixyrR?xy?? iRiyyY X X rXxx? ? ???RN rX N y?? （ ） （ ） ? iRRiyyY y X X rXxx? ? ? ???3/15/2023 41 抽 樣 調(diào) 查 ? （二）比率估計的性質(zhì) ? ?? ??E R E r R??引理 ? ?RE y Y X R??? ??RE Y Y X R??定理 推論 ? y rX??證 ： ， 由 引 理 易 知3/15/2023 42 抽 樣 調(diào) 查 引理 ? ? ? ??V R V r?證：當 n充分大時 RxyRr ??? ? ?xRyXx xRy ???? 1? ? ? ? 2V r E r R?? 1 , ,i i iG Y RX i N? ? ?令 ，xRyg ?? 0??? XRYG ? ? ? ?221r E y RxX??? ?221 E g GX?? ? ??? ???? Ni iGGNn fX122 1111 ? ??????? Ni iiRXYNn fX122 1111 0gGG ?是 的 簡 單估 計3/15/2023 43 抽 樣 調(diào) 查 定理 ? ????????Niii RXYNnf12111()RVy 21 ......................( )df Sn? ? ? ? 22111 ....( )1NiiifN Y R XnN???? ? ?? ??()RVY ? 2. 4RY NXr?證 ： ， 由 引 理 易 知 。推論 ? ? /RY Y N?證 ： ， 由 定 理 顯 然 。3/15/2023 44 抽 樣 調(diào) 查 0G Y R X? ? ?? ?2111NiiiY R XN???? ? ? ? ? ?? ???????? Niii XRYRXYN1211yxxy RSSRS 2222 ??? 2 2 2 2y x y xS R S R S S?? ? ?? ?2 2 2211 2 ......( )y x y xfV r S R S R S SXn ?? ??? ? ? ? ???? ? 2 2 21 2R y x y xfy S R S R S Sn ?? ??? ? ? ???? ? 2 2 2 21? 2R y x y xfV Y N S R S R S Sn ?? ??? ? ? ? ??? ? ?2 2 2211( ) 2 .. y x y xfv r s r s rsXn? ??? ? ? ? ??? ? ?2 2 2211( ) 2 .. x y xfv r s r s rsxn ?? ? ? ? ?或因而方差估計 有兩種思路 …( ) …( ) 3/15/2023 45 抽 樣 調(diào) 查 例 i 1 2 3 4 5 6 均值 Xi Yi 0 1 1 3 3 11 5 18 8 29 10 46 18 表 假設(shè)的總體數(shù)據(jù) 3/15/2023 46 抽 樣 調(diào) 查 解： i 樣本 簡單估計 比率估計 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 均值 1， 2 1， 3 1， 4 1， 5 1， 6 2， 3 2， 4 2， 5 2， 6 3， 4 3， 5 3， 6 4， 5 4， 6 5， 6