北師大版選修2-2高考數學32導數在實際問題中的應用(編輯修改稿)
2024-12-24 00:49 本頁面
【文章內容簡介】 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔熱層 , 每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元 .該建筑物每年的能源消耗費用 C ( 單位 : 萬元 ) 與隔熱層厚度x ( 單位 :c m ) 滿足關系 : C ( x ) =??3 ?? + 5(0 ≤ x ≤ 1 0 ) , 若不建隔熱層 , 每年能源消耗費用為 8 萬元 .設 f ( x ) 為隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和 . ( 1 ) 求 k 的值及 f ( x ) 的表達式 。 ( 2 ) 隔熱層修建多厚時 , 總費用 f ( x ) 達到最小 , 并求最小值 . 思路分析 : 根據題設條件構造函數關系 ,再 應用導數求最值 . 探究一 探究二 探究三 解 : ( 1 ) 設隔熱層厚度為 x cm ,由題設 ,每年能源消耗費用為 C ( x ) =??3 ?? + 5, 又 C ( 0 ) = 8, ∴ k= 40, 因此 C ( x ) =403 ?? + 5,而建造費用 C1( x ) = 6 x ,從而隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和為 f ( x ) = 20 C ( x ) +C1( x ) = 20 403 ?? + 5+ 6 x=8003 ?? + 5+ 6 x (0 ≤ x ≤ 10) ( 2 ) f39。 ( x ) = 6 2 400( 3 ?? + 5 )2,令 f39。 ( x ) = 0, 即2 400( 3 ?? + 5 )2= 6, 解得 x1= 5, x2= 253( 舍去 ), 當 0 x 5 時 , f39。 ( x ) 0, 當 5 x 10 時 , f39。 ( x ) 0, 故 x= 5是 f ( x ) 的最小值點 ,對應的最小值為 f ( 5 ) = 6 5 +80015 + 5= 70, 即當隔熱層修建 5 cm 厚時 ,總費用達到最小值 70 萬元 . 探究一 探究二 探究三 ?? 變式訓練 2 ?? 如圖所示 , 用寬為 a 、長為 b 的三塊矩形木板 , 做成一個橫截面為等腰梯形的水槽 , 試問當傾斜角 θ 多大時 , 可使得水槽的流量最大 ? 探究一 探究二 探究三 解 :設水槽橫截面面積為 S ,則 S=12( A B + E D ) CD . 由于 A B = a + 2 a co s θ , C D= a s in θ , 則 S=12[( a+ 2 a co s θ ) +a ] a s in θ =a2s in θ (1 + co s θ ) 0 ?? π2 . 所以 S 39。=a2( 2 c o s2θ + co s θ 1) . 令 S 39。= 0, 得 co s θ =12或 co s θ = 1 . 由于 0 θ π2,所以 co s θ ≠ 1 . 所以 co s θ =12.此時 θ =π3. 因為當 0 θ π3時 , S 39。 0。 當π3 θ π2時 , S 39。 0, 所以 θ =π3時 , S 取得極大值 ,也是最大值 . 所以當 θ =π3時 ,橫截面面積最大 ,此時水槽的流量最大 . 探究一 探究二 探究三 探究三 易錯辨析 易錯點 : 忽視實際問題的定義域致誤 典例提升 3 某廠生產一種機器 , 其固定成本 ( 即固定投入 ) 為 0 . 5 萬元
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