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正文內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第3章空間向量與立體幾何23(編輯修改稿)

2024-12-23 23:13 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 n 〉 |= 2 69 . 規(guī)律方法 借助于向量求線面角關(guān)鍵在于確定直線的方向向量和平面的法向量 , 一定要注意向量夾角與線面角的區(qū)別和聯(lián)系 . 跟蹤演練 2 如圖所示 , 已知直角梯形 ABCD, 其 中 AB= BC= 2AD, AS⊥ 平面 ABCD, AD∥ BC, AB ⊥ BC, 且 AS= SC與底面 ABCD的夾角 θ的 余弦值 . 解 由題設(shè)條件知 , 以點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn) , 分別以 AD、 AB、 AS所在直線為 x軸 、 y軸 、 z軸 , 建立空 間直角坐標(biāo)系 (如圖所示 ). 設(shè) AB= 1, 則 A(0,0,0), B(0,1,0), C (1,1, 0) , D????????12 , 0 , 0 , S (0,0, 1) . ∴ AS→= (0, 0,1) , CS→= ( - 1 ,- 1, 1) . 顯然 AS→是底面的法向量,它與已知向量 CS→的夾角 β =π2 - θ , 故有 si n θ = cos β =AS→ CS→| AS→|| CS→|=11 3=33 , ∵ θ ∈ [0 , π2 ] . ∴ cos θ = 1 - si n 2 θ = 63 . 要點(diǎn)三 求二面角 例 3 在正方體 ABCD- A1B1C1D1中 , 求二面角 A1- BD- C1的余弦值 . 解 不妨設(shè)正方體的棱長為 1 ,以 DA→, DC→, DD 1→為單 位正交基底, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D- xyz, 取 BD的中點(diǎn) E,連結(jié) A1E, C1E. 因?yàn)?△DBA1和 △BDC1都是正三角形 , 所以 A1E⊥ BD, C1E⊥ BD, 故 ∠ A 1 EC 1 是二面角 A 1 - BD - C 1 的平面角,也就是 EA 1→與EC 1→的夾角 . 又 E (12 ,12 , 0) , A 1 (1, 0,1 ) , C 1 (0, 1,1 ) , 可得 EA 1→ = (12 ,-12 , 1) , EC 1→ = ( - 12 ,12 , 1) . EA 1 =14+14+ 1 =62, EC 1 =14+14+ 1 =62, EA 1→ EC 1→=-14-14+ 1 =12. cos 〈 EA 1→, EC 1→〉=126262=13. 即二面角 A 1 - BD - C 1 的余弦值為13 . 規(guī)律方法 (1)當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立 (有特殊的位置關(guān)系 )時(shí) , 用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角 .只需求出平面的法向量 , 經(jīng)過簡單的運(yùn)算即可求出 , 有時(shí)不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小 (相等戒互補(bǔ) ),但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論 , 因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是明顯的 . (
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