高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第3章空間向量與立體幾何23(編輯修改稿)
2024-12-23 23:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 n 〉 |＝ 2 69 . 規(guī)律方法 借助于向量求線面角關(guān)鍵在于確定直線的方向向量和平面的法向量 ， 一定要注意向量夾角與線面角的區(qū)別和聯(lián)系 . 跟蹤演練 2 如圖所示 ， 已知直角梯形 ABCD， 其 中 AB＝ BC＝ 2AD， AS⊥ 平面 ABCD， AD∥ BC， AB ⊥ BC， 且 AS＝ SC與底面 ABCD的夾角 θ的 余弦值 . 解 由題設(shè)條件知 ， 以點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn) ， 分別以 AD、 AB、 AS所在直線為 x軸 、 y軸 、 z軸 ， 建立空 間直角坐標(biāo)系 (如圖所示 ). 設(shè) AB＝ 1， 則 A(0,0,0)， B(0,1,0)， C (1,1, 0) ， D????????12 ， 0 ， 0 ， S (0,0, 1) . ∴ AS→＝ (0, 0,1) ， CS→＝ ( － 1 ，－ 1, 1) . 顯然 AS→是底面的法向量，它與已知向量 CS→的夾角 β ＝π2 － θ ， 故有 si n θ ＝ cos β ＝AS→ CS→| AS→|| CS→|＝11 3＝33 ， ∵ θ ∈ [0 ， π2 ] . ∴ cos θ ＝ 1 － si n 2 θ ＝ 63 . 要點(diǎn)三 求二面角 例 3 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， 求二面角 A1－ BD－ C1的余弦值 . 解 不妨設(shè)正方體的棱長為 1 ，以 DA→， DC→， DD 1→為單 位正交基底， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D－ xyz， 取 BD的中點(diǎn) E，連結(jié) A1E， C1E. 因?yàn)?△DBA1和 △BDC1都是正三角形 ， 所以 A1E⊥ BD， C1E⊥ BD， 故 ∠ A 1 EC 1 是二面角 A 1 － BD － C 1 的平面角，也就是 EA 1→與EC 1→的夾角 . 又 E (12 ，12 ， 0) ， A 1 (1, 0,1 ) ， C 1 (0, 1,1 ) ， 可得 EA 1→ ＝ (12 ，－12 ， 1) ， EC 1→ ＝ ( － 12 ，12 ， 1) . EA 1 ＝14＋14＋ 1 ＝62， EC 1 ＝14＋14＋ 1 ＝62， EA 1→ EC 1→＝－14－14＋ 1 ＝12. cos 〈 EA 1→， EC 1→〉＝126262＝13. 即二面角 A 1 － BD － C 1 的余弦值為13 . 規(guī)律方法 (1)當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立 (有特殊的位置關(guān)系 )時(shí) ， 用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角 .只需求出平面的法向量 ， 經(jīng)過簡單的運(yùn)算即可求出 ， 有時(shí)不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小 (相等戒互補(bǔ) )，但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論 ， 因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是明顯的 . (
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