北師大版選修2-1高中數(shù)學第二章空間向量與立體幾何測試題b(編輯修改稿)
2025-01-08 00:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ,0)． 13． 已知空間三點 A(1,1,1)、 B(－ 1,0,4)、 C(2，－ 2,3)， 則 AB→ 與 CA→ 的夾角 θ 的大小是________________． [答案 ] 120176。 [解析 ] ∵ AB→ ＝ (－ 2，－ 1,3)， CA→ ＝ (－ 1,3，－ 2)， ∴ cos〈 AB→ ， CA→ 〉＝ AB→ CA→|AB→ ||CA→ |＝ 2－ 3－ 614 14＝－ 12， ∴ θ＝〈 AB→ ， CA→ 〉＝ 120176。. 14． 如圖 ， 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， O是上底面 A1B1C1D1的中心 ， 則 OC與 BC1所成角的余弦值為 ________________． [答案 ] 36 [解析 ] 以 D為坐標原點，以 DA、 DC、 DD1分別為 x、 y、 z軸，建立空間直角坐標系 ． 設正方體的棱長為 1，則 O(12， 12， 1)， C(0,1,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,1)，所以 OC→ ＝ (－ 12， 12，－ 1)，BC1→ ＝ (－ 1,0,1)， 所以 cos〈 OC→ ， BC1→ 〉＝12＋ 0－ 132 2＝－ 36 . ∴ OC與 BC1所成角的余弦值為 36 . 15． 已知 A(1,1,0)， B(1,2,1)， C(0,0,2)， 則原點 O到平面 ABC的距離為 ________________． [答案 ] 2 1111 [解析 ] 設過 O與平面 ABC垂直的向量為 OH→ ，則 ????? OH→ AB→ ＝ 0OH→ AC→ ＝ 0， ∵ AB→ ＝ (0,1,1)， AC→ ＝ (－ 1，－ 1,2)， 又設 OH→ ＝ (x， y， z)，則????? y＋ z＝ 0－ x－ y＋ 2z＝ 0 ， ∴ ????? y＝－ zx＝ 3z ， 令 z＝ 1，則 OH→ ＝ (3，－ 1,1)， 又 OA→ ＝ (1,1,0)， ∴ d＝ |OA→ OH→ ||OH→ |＝ 2 1111 . 三、解答題 (本大題共 6 小題，共 75 分，前 4 題每題 12 分， 20 題 13 分， 21 題 14 分 ) 16． 已知空間三點 A(－ 2,0,2)， B(－ 1,1,2)， C(－ 3,0,4)， 設 a＝ AB→ ， b＝ AC→ . (1)求 a和 b的夾角 θ的 余弦值 ； (2)若向量 ka＋ b與 ka－ 2b互相垂直 ， 求 k的值 ． [解析 ] a＝ AB→ ＝ (－ 1,1,2)－ (－ 2,0,2)＝ (1,1,0)， b＝ AC→ ＝ (－ 3,0,4)－ (－ 2,0,2)＝ (－ 1,0,2)． (1)cos θ＝ ab|a||b|＝ － 1＋ 0＋ 02 5 ＝－ 1010 ， ∴ a與 b的夾角 θ的余弦值為－ 1010 . (2)ka＋ b＝ (k， k,0)＋ (－ 1,0,2)＝ (k－ 1， k,2)， ka－ 2b＝ (k， k,0)－ (－ 2,0,4)＝ (k＋ 2， k，－ 4)． ∴ (k－ 1， k,2)(k＋ 2， k，－ 4)＝ (k－ 1)(k＋ 2)＋ k2－ 8＝ 2k2＋ k－ 10＝ 0， ∴ k＝－ 52或 k＝ 2. 17． 如圖所示 ， 平行六面體 OABC－ O′ A′ B′ C′ ， 且 OA→ ＝ a， OC→ ＝ b， OO′→ ＝ C． (1)用 a， b， c表示向量 OB′→ ， AC′→ . (2)設 G、 H分別是側(cè)面 BB′ C′ C和 O′ A′ B′ C′ 的中心 ， 用 a， b， c表示 GH→ . [解析 ] (1)OB′→ ＝ OB→ ＋ BB′→ ＝ OA→ ＋ OC→ ＋ OO′→ ＝ a＋ b＋ C． AC′→ ＝ AC→ ＋ CC′→ ＝ AB→ ＋ AO→ ＋ AA′→ ＝ OC→ ＋ OO′→ － OA→ ＝ b＋ c－ A． (2)GH→ ＝ GO→ ＋ OH→ ＝－ OG→ ＋ OH→ ＝－ 12(OB→ ＋ OC′→ )＋ 12(OB′→ ＋ OO′→ ) ＝－ 12(a＋ b＋ c＋ b)＋ 12(a＋ b＋ c＋ c)＝ 12
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