高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第3章空間向量與立體幾何23(完整版)
【正文】 E→， CF→〉 ＝ 30 cos 〈 AE→， CF→〉， ∴ cos 〈 AE→， CF→〉＝3010 ， ∴ 異面直線 AE 與 CF 所成角的余弦值為3010 . 要點(diǎn)二 求直線和平面所成的角 例 2 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面邊長為 a,側(cè)棱長為 ，M為 A1B1的中點(diǎn) ， 求 BC1與平面 AMC1所成角的正弦值 . 解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ， 則 A (0, 0,0 ) ， M (0 ，a2， 2 a ) ， C 1 ( －32a ，a2， 2 a ) ， B (0 ， a, 0) ， 2a 故 AC 1→ ＝ ( －32 a ，a2 ， 2 a ) ， AM→ ＝ (0 ， a2 ， 2 a ) . 設(shè)平面 AMC1的法向量為 n＝ (x， y， z). 則????? AC 1→|u| (1)二面角的取值范圍： [0， π]. (2)二面角的向量求法： ① 若 AB， CD分別是二面角 αlβ的兩個(gè)面內(nèi)與棱 l垂直的異面直線 (垂足分別為 A， C)， 如圖 ， 則二面角的大小就是向量 與 的夾角 . AB→ CD→ ② 設(shè) n n2是二面角 αlβ的兩個(gè)面 α， β的法向量 ， 則向量 n1與向量 n2的夾角 (戒其補(bǔ)角 )就是二面角的平面角的大小 . 要點(diǎn)一 求兩條異面直線所成的角 例 1 如圖所示 ， 三棱柱 OABO1A1B1中 ,平面 OBB1O1 ⊥ 平面 OAB， ∠ O1OB＝ 60176。b||a| ? 3 ，－ 1 ，－ 3 ? |7 EC 1→＝－14－14＋ 1 ＝12. cos 〈 EA 1→， EC 1→〉＝1262. 30176。 VD→| AC→|| VD→|＝－ 22 A 1 B→ ＝ 1 － 1 ＝ 0 ， AC 1→ AD→＝ 0 ，n CF→＝－ 1 ＋ 0 ＋ 4 ＝ 3. 又 AE→u||a||b| (1)定義：直線和平面所成的角 ， 是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角 . (2)范圍：直線和平面所成角 θ的取值范圍是 0≤ θ≤ . (3)向量求法：設(shè)直線 l的方向向量為 a， 平面的法向量為 u，直線與平面所成的角為 θ， a與 u的夾角為 φ， 則有 sin θ＝ |cos φ|＝ 戒 cos θ＝ sin φ. π2 |a 7＝17 . ∴ 異面直線 A 1 B 與 AO 1 所成角的余弦值為 17 . 規(guī)律方法 建立空間直角坐標(biāo)系要充分利用題目中的垂直關(guān)系；利用向量法求兩異面直線所成角計(jì)算思路簡便 ， 要注意角的范圍 . 跟蹤演練 1 正方體 ABCDA1B1C1D1中 ， E、 F分別是 A1DA1C1的中點(diǎn) ， 求異面直線 AE與 CF所成角的余
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