62(統(tǒng)計量與抽樣分布)(編輯修改稿)
2025-03-14 22:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 抽樣分布 21nYnXF ? ???????????????????????????????????????????????? ??? ??0,00,1222)(2212112221212111xxxnnnnxnnnnxf nnnnF 抽樣分布 圖 611 F分布的概率密度曲線 由 F分布的定義 容易看出， 若 F ～ F(n1， n2)，則 1/F ～ F(n2， n1)． 21nYnXF ?4. 正態(tài)總體的抽樣分布定理 在數(shù)理統(tǒng)計問題中 ， 正態(tài)分布占據(jù)著十分重要的位置 ， 一方面因為在應用中 ， 許多隨機變量的分布或者是正態(tài)分布 ， 或者接近于正態(tài)分布；另一方面 ， 正態(tài)分布有許多優(yōu)良性質(zhì) ， 便于進行較深入的理論研究 ． 因此 ， 我們著重討論正態(tài)總體下的抽樣分布 ， 給出有關(guān)最重要的統(tǒng)計量樣本均值和樣本方差 S2的抽樣分布定理 ． 抽樣分布 定理 設(shè) X1， X2， … ， Xn為來自總體 N(?， ? 2)的樣本 ， ， S 2分別為樣本均值和樣本方差 ， 則有 (1) (2) (3) 與 S 2相互獨立； (4) 證明： 由正態(tài)分布的性質(zhì)容易得到 (1),略去 (2)和 (3)的證明 ,下面僅證明 4. 抽樣分布 )。,(~2nNX?? 。1~)1( 222）（ ?? nSn ??X )1(~/ ?? ntnSX ? 證明 (4):由 (1)知 ， 從而 由 (2)(3)知 根據(jù) t分布的定義 抽樣分布 )。,(~)1(2nNX?? 。1~)1()2( 222）（ ?? nSn ??,2 相互獨立與 SX)1(~/)4 ?? ntnSX ?),(~ 2nNX?? ,1~)1( 222）（ ?? nSn ?? )1,0(~/ NnX???)1(~/)1()1(/22??????ntnSXnSnnX????相互獨立；與 2)3( SX【 例 】 某廠生產(chǎn)的燈泡壽命近似服從正態(tài)分布N(800， 402)， 抽取 16個燈泡的樣本 ， 求平均壽命小于 775小時的概率 . 解： 設(shè)燈泡壽命總體為 X， 因為 X～ N(800,402),n=16, 所以樣本均值 故 抽樣分布 ),1640,800(~ 2NX)100,800(~ NX即 ?????? ?????1080077510800}775{ XPXP)( 800 ?????????? ???? XP【 例 】 設(shè)總體 X～ N(?， 102)， 抽取容量為 n的樣本 ，樣本均值記為 ． 欲使 與 的偏差小于 5的概率大于， 樣本容量 n至少應該取多大 ？ 解： 依題令 ,即 因為總體 ， 從而 所以 即 查表知 ， 由于 單調(diào)不減 ， 應有 故 n至少應該取為 16． 抽樣分布 X? }5{ ??? ?XP }55{ ????? ?? XP )10,(~ 2?NX)1,0(~10 NnX ?? 10510105 ??????? ????nnXnP ? ,22 ????????? ???????????? nn ,22 ??????????? 2 ?????????? n? ? ?? )(x? , ?n .?n【 例 】 設(shè) X1， X2， … ， Xn為總體 X ～ N (?， ? 2)的樣本 ， 求樣本方差 的均值和方差 ． 解： 本題可以通過 ?2分布的均值和方差簡單求出 ． 由定理 , 所以有 于是 抽樣分布 ?????nii XXnS122 )(11）（ 1~)1( 222?? nSn ?? ,1)1(22???????? ? nSnE? )1(2)1(22???????? ? nSnD?? ? ,22 ??SE ? ? .1242?? nSD? 分位數(shù) 設(shè) X為一隨機變量 ， 我們知道對于給定的實數(shù) x，P{X x}是事件 {X x}的概率 ． 在統(tǒng)計中 ， 我們常常需要對給定事件 {X x}的概率 ， 由此確定的 x取是一個臨界點 ,稱為分位數(shù) (點 ),有如下定義： 定義 設(shè) X為隨機變量 ， 若對給定的 ? ? (0，1)， 存在 x?滿足 P{X x?} = ?， 則稱 x?為 X的 上 ? 分位數(shù) (點 )． 統(tǒng)計量與抽樣分布 若 X具有密度 f(x)， P{X x?} = ?說明分位數(shù) x? 右邊的一塊陰影面積為 ?， 即 容易看出 ， X的上 ?分位數(shù) x?是 關(guān)于 ? 的減函數(shù) ， 即 ?增大時 x?減少 . 下面給出幾種常用分布的上 ?分位數(shù)的求法： 分位數(shù) ???? ?? dttfx )(1. 設(shè) Z ? N(0， 1)， 記 N(0， 1)的上 ?分位數(shù)為 z?，即有 P{Z z?} = ? . 由于 ?(z?) = P{Z ? z?} = 1 – P{Z ?z?}=1 – ?， 由標準正態(tài)分布函數(shù)表 （ 附表 2） 反過來查 ， 即可以得到 z?的值 . 為使用方便 ， 表 61列出了標準正態(tài)分布的幾個常用分位數(shù) z?的值 ． 表 61 常用的標準正態(tài)分布的分位數(shù) ? z? 分位數(shù) 由 N(0， 1)的概率密度的對稱性 （ 見圖 613） 可知 所以 z1? = –z?． 圖 613 z1?與 z? 分位數(shù) ???? ????????? 1}{1}{}{ zZPzZPzZP2. 設(shè) ?2 ～ ?2(n)， 記 ?2(n)的上 ?分位數(shù)為 ??2(n)， 即有 P{?2 ??2(n)} = ?. 附表 3中給出了時 ??2(n)的值 ， 當 n40時 ， 由?2(n)的漸近性質(zhì) ， 有 分位數(shù) 22 )12(21)( ??? nzn??? T ～ t(n)， 記 t(n)的上 ?分位數(shù)為 t?(n)， 即有 P{T t?(n)} = ?； 由 t
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