應用統(tǒng)計基本概念與抽樣分布(編輯修改稿)
2025-02-24 01:20 本頁面
【文章內容簡介】 樣本，其中 ，則 是 參數(shù)的充分統(tǒng)計量。 12( , , , )nX X X xxxXP ???? 1)1()( ??1,0?x01???? ???niiXT1? 由定義可得 定理 設 是參數(shù) 的充分統(tǒng)計量， 是單值可逆函數(shù)，則 也是參數(shù) 的充分統(tǒng)計量。 ),( 21 nXXXTT ?? )(ts ?? )(Ts ????? 當總體為連續(xù)型總體時，充分統(tǒng)計量要用條件分布密度來描述。奈曼（ ）和哈爾斯（ ）在 20世紀 40年代提出并嚴格證明了一個判別充分統(tǒng)計量的方法：因子分解定理。 ? 定理 （因子分解定理）設樣本的聯(lián)合分布為一個含未知參數(shù)的分布族 ,則 是一個充分統(tǒng)計量當且僅當存在這樣的兩個函數(shù)： (1)與 無關的非負函數(shù) ； (2)與 有關，且僅與統(tǒng)計量 T的值有關的非負函數(shù) 使得 其中 在離散總體的情況下表示樣本的分布列，在連續(xù)總體的情況下表示樣本的分布密度。 ? ????? :),( ,21 nxxxf ? ),( 21 nXXXTT ?? ),(21 nxxxh ?? )),(( 21 nxxxTg ?? )),((),(),( 212121 nnn xxxTgxxxhxxxf ??? ?? ??),( 21 nxxxf ??? 例 設 是來自 分布 ,即它的分布密度為 的一個簡單隨機樣本，其中 則 分別是參數(shù) 的充分統(tǒng)計量 ),( 21 nXXX ?),( 2??N221 ()2,1()2xf x e???? ?????,0x ?? ? ? ? ? ? ?,0??? ? ? ? ? ?21211, ( )nniiiiT X T X X??? ? ???2,??解 :樣本 的聯(lián)合分布密度為 如果令 由因子分解定理知 是 的充分統(tǒng)計量。 ),( 21 nXXX ? 222 2212 22,()( , , , ) ( 2 ) e xp( )22nnT nXf x x x???????? ?? ? ?1),( 21 ?nxxxh ?12( ( , , , ) )ng T x x x?22 2222()( 2 ) e xp( )22n T nX ??? ??? ?? ? ?),( 21 TT ),( 2??? 例 設總體 X的分布密度為 是 X的一個簡單隨機樣本，試證明最小順序統(tǒng)計量 的充分統(tǒng)計量。 ),( 21 nXXX ? 2)。(xxf ?? ?????? x?0 (1)X ?是證 :樣本 的聯(lián)合分布密度為 如果令 由因子分解定理知 是 的充分統(tǒng)計量。 12( , , , )nX X X1 2 1 2212( , , , ) , 0 , , ,()nnnnf x x x x x xx x x? ? ?? ? ? ? ? ?12 2121( , , , )( , , , )n nh x x xx x x?12( ( , , , ) )ng T x x x? ( 1 ),0n x??? ? ? ? ? ??(1)X? 167。 我們稱統(tǒng)計量的分布為抽樣分布 ,不同的統(tǒng)計量其分布不一定相同 . 常見的分布類型有 : 正態(tài)分布 伽瑪分布 卡方分布 t 分布 F分布 ? 伽瑪分布 定義 如果連續(xù)型隨機變量 X的密度函數(shù)為 其中 為 函數(shù)，則稱 X為服從參數(shù)是 的伽瑪分布，記為 ,0,00,)()(1??????????
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