62(統(tǒng)計量與抽樣分布)-在線瀏覽
2025-03-28 22:21本頁面
【正文】 抽樣分布 21nYnXF ? ???????????????????????????????????????????????? ??? ??0,00,1222)(2212112221212111xxxnnnnxnnnnxf nnnnF 抽樣分布 圖 611 F分布的概率密度曲線 由 F分布的定義 容易看出， 若 F ～ F(n1， n2)，則 1/F ～ F(n2， n1)． 21nYnXF ?4. 正態(tài)總體的抽樣分布定理 在數(shù)理統(tǒng)計問題中 ， 正態(tài)分布占據(jù)著十分重要的位置 ， 一方面因為在應(yīng)用中 ， 許多隨機變量的分布或者是正態(tài)分布 ， 或者接近于正態(tài)分布；另一方面 ， 正態(tài)分布有許多優(yōu)良性質(zhì) ， 便于進行較深入的理論研究 ． 因此 ， 我們著重討論正態(tài)總體下的抽樣分布 ， 給出有關(guān)最重要的統(tǒng)計量樣本均值和樣本方差 S2的抽樣分布定理 ． 抽樣分布 定理 設(shè) X1， X2， … ， Xn為來自總體 N(?， ? 2)的樣本 ， ， S 2分別為樣本均值和樣本方差 ， 則有 (1) (2) (3) 與 S 2相互獨立； (4) 證明： 由正態(tài)分布的性質(zhì)容易得到 (1),略去 (2)和 (3)的證明 ,下面僅證明 4. 抽樣分布 )。,(~2nNX?? 。,(~)1(2nNX?? 。 (2) 在附表 4中沒有 ? = ， 可先查出 (4) = ， 利用對稱性得到 (4) = – (4) = – ． (3) 在附表 4中查不到 (55)，用近似公式 (55) ? = ． 分位數(shù) (4) 在附表 5中，查不到 (14， 10)，但可查出 (10， 14) = ， 故 (5) 在附表 3表中查不到 ?(200)， 先查出 = – = –， 再作如下近似計算 )(21)12023(21)200(222?????????? z? 分位數(shù) . 1)14,10( 1)10,14( ??? FF【 實驗 】 用 Excel計算例 68中的分位數(shù) : (1) ； (2) (4)； (3) (55)； (4) (14， 10)； (5) ?(200). 實驗準(zhǔn)備： (1) 函數(shù) NORMSINV的使用格式： NORMSINV(probability) 功能：返回標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的反函數(shù)值 ． 分位數(shù) (2) 函數(shù) TINV的使用格式： TINV(probability, degrees_freedom) 功能：返回給定自由度的 t 分布的上 ?/ 2分位數(shù) ． 其中 ?=probability為 t分布的雙尾概率 ，degrees_freedom為分布的自由度 ． (3) 函數(shù) FINV的使用格式： FINV(probability, degrees_freedom1, degrees_freedom2) 功能：返回 F分布的上 ?分位數(shù) ， 其中 ? = probability為 F分布的單尾概率 ， degrees_freedom1 和 degrees_freedom2為兩個自由度 ． 分位數(shù) (4) 函數(shù) CHIINV的使用格式： CHIINV(probability, degrees_freedom) 功能：返回 ?2分布的上 ?分位數(shù) ． 其中 ? = p r o b a b i l i t y 為 ? 2 分布的單尾概率 ，Degrees_freedom為自由度 ． 分位數(shù) 實驗步驟 ： (1) 計算 ， 在單元格 B2中輸入公式： = NORMSINV() (2) 計算 (4)， 由于 (4) = (4)， 在單元格 B3中輸入公式 : = TINV(2*,4) (3) 計算 (55)， 在單元格 B4中輸入公式： = TINV(2*,55) 分位數(shù) (4) 計算 (14， 10)， 在單元格 B5中輸入公式： = FINV(,14,10) (5) 計算 ?(200)， 在單元格 B6中輸入公式： = CHIINV(,200) 計算結(jié)果如圖所示 ． 分位數(shù) 【 例 】 設(shè) X1， X2是總體 X ~ N(1， 2)的樣本 ， 試求概率 P{(X1 – X2)2 ? }． 解法 一： 因為 X ~ N(1， 2)， 所以 Xi ~ N(1， 2)，i=1,2， 從而 記 ， 所以 查表知 ， 即 所以 分位數(shù) ),1,0(~2 21 NXX ? )1(~2 2221 ??????? ? XX 22122 ?????? ?? XX?? ?}){( 2221 ???? ?PXXP }{1 2 ??? ?P )1(2 0 ?? ,}{ 2 ???P }){( 221 ????? XX【 例 】 設(shè) X1， X2是總體 X ~ N(1， 2)的樣本 ， 試求概率 P{(X1 – X2)2 ? }． 解法 二： 因 X ~ N(1， 2)， 所以 從而 分位數(shù) )1,0(~2 21 NXX ??????? ????? 2}){(21221XXPXXP)(2 ?????? ? 由定理 布定理 ． 定理 設(shè) ， 分別為來自N(?1,?12)和 N(?2,?22)的樣本 ， 且它們相互獨立 ，設(shè) ， S12， ， S22， 分別為相應(yīng)樣本的樣本均值和樣本方差 ， 則 (1) (2) 1, 21 nXXX ? 2, 21 nYYY ?XY)1,0(~)(22212121 NnYX????????)1,1(~// 2122222121 ?? nnFSS?? 分位數(shù) (3) 當(dāng) 時 ， 其中 22221 ??? ??)2(~11)()(212121 ??????nntnnSYXw??2212222112 ,2)1()1( SSnnSnSnS ??????? 分位數(shù) 證： (1) 由于 , ，又 與 獨立 ， 故由正態(tài)分布的性質(zhì)知 所以 )/,(~ 1211 nNX ?? )/,
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