高中數學北師大版選修2-2【配套備課資源】第3章12(編輯修改稿)
2024-12-23 19:02 本頁面
【文章內容簡介】 堂更高效 跟蹤訓練 1 求函數 f ( x ) ＝ 3x ＋ 3ln x 的極值與極值點． 解 函數 f ( x ) ＝ 3x ＋ 3ln x 的定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝－ 3x 2 ＋ 3x ＝ 3 ? x － 1 ?x 2 . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 當 x 變化時， f ′ ( x ) 與 f ( x ) 的變化情況如下表： x ( 0,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 3 因此當 x ＝ 1 時， f ( x ) 有極小值 f ( 1) ＝ 3. x ＝ 1 是極小值點． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 探究點二 利用函數極值確定參數的值 問題 已知函數的極值，如何確定函數 解析 式中的參數？ 答 解這類問題，通常是利用函數的導數在極值點處的取值等于零來建立關于參數的方程，從而求出參數的值．需注意的是，可導函數在某點處的導數值等于零只是函數在該點處取得極值的必要條件，所以必須對求出的參數值進行檢驗，看是否符合函數取得極值的條件． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 例 2 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝－ 1 時有極值 0 ，求常數a ， b 的值． 解 因為 f ( x ) 在 x ＝－ 1 時有極值 0 ， 且 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 ax ＋ b ， 所以????? f ′ ? － 1 ? ＝ 0 ，f ? － 1 ? ＝ 0 ， 即 ????? 3 － 6 a ＋ b ＝ 0 ，－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a 2 ＝ 0. 解之得????? a ＝ 1 ，b ＝ 3 或 ????? a ＝ 2 ，b ＝ 9. 當 a ＝ 1 ， b ＝ 3 時， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 x ＋ 3 ＝ 3( x ＋ 1) 2 ≥ 0 ， 所以 f ( x ) 在 R 上為增函數，無極值，故舍去． 當 a ＝ 2 ， b ＝ 9 時， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 12 x ＋ 9 ＝ 3( x ＋ 1) ( x ＋ 3) ． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 當 x ∈ ( － 3 ，－ 1) 時， f ( x ) 為減函數；當 x ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) 時， f ( x )為增函數， 所以 f ( x ) 在 x ＝－ 1 時取得極小值，因此 a ＝ 2 ， b ＝ 9. 小結 ( 1) 利用函數的極值確定參數的值，常根據極值點處導數為 0 和極值兩個條件列方程組，利用待定系數法求 解 ． ( 2) 因為 “ 導數值等于零 ” 不是 “ 此點為極值點 ” 的充要條件，所以利用待定系數法求 解 后，必須驗證根的合理性． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 研一研 問題探究、課堂更高效 跟蹤訓練 2 設 x ＝ 1 與 x ＝ 2 是函數 f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx2＋ x 的兩個極 值點． ( 1) 試確定常數 a 和 b 的值； ( 2) 判斷 x ＝ 1 ， x ＝ 2 是函數 f ( x ) 的極大值點還是極小值點，并說明理由． 解 ( 1) ∵ f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx 2 ＋ x ， ∴ f ′ ( x ) ＝ ax ＋ 2 bx ＋ 1. 由極值點的必要條件可知： f ′ ( 1) ＝ f ′ ( 2) ＝ 0 ， ∴ a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0 且 a2 ＋ 4 b ＋ 1 ＝ 0 ， 解方程組得， a ＝－ 23 ， b ＝－ 16 . ( 2) 由 ( 1)
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