高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2【配套備課資源】第3章12(編輯修改稿)
2024-12-23 19:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 堂更高效 跟蹤訓(xùn)練 1 求函數(shù) f ( x ) ＝ 3x ＋ 3ln x 的極值與極值點(diǎn)． 解 函數(shù) f ( x ) ＝ 3x ＋ 3ln x 的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝－ 3x 2 ＋ 3x ＝ 3 ? x － 1 ?x 2 . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) 與 f ( x ) 的變化情況如下表： x ( 0,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 3 因此當(dāng) x ＝ 1 時(shí)， f ( x ) 有極小值 f ( 1) ＝ 3. x ＝ 1 是極小值點(diǎn)． 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問(wèn)題探究、課堂更高效 探究點(diǎn)二 利用函數(shù)極值確定參數(shù)的值 問(wèn)題 已知函數(shù)的極值，如何確定函數(shù) 解析 式中的參數(shù)？ 答 解這類問(wèn)題，通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來(lái)建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值．需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件，所以必須對(duì)求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合函數(shù)取得極值的條件． 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問(wèn)題探究、課堂更高效 例 2 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝－ 1 時(shí)有極值 0 ，求常數(shù)a ， b 的值． 解 因?yàn)?f ( x ) 在 x ＝－ 1 時(shí)有極值 0 ， 且 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 ax ＋ b ， 所以????? f ′ ? － 1 ? ＝ 0 ，f ? － 1 ? ＝ 0 ， 即 ????? 3 － 6 a ＋ b ＝ 0 ，－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a 2 ＝ 0. 解之得????? a ＝ 1 ，b ＝ 3 或 ????? a ＝ 2 ，b ＝ 9. 當(dāng) a ＝ 1 ， b ＝ 3 時(shí)， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 x ＋ 3 ＝ 3( x ＋ 1) 2 ≥ 0 ， 所以 f ( x ) 在 R 上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去． 當(dāng) a ＝ 2 ， b ＝ 9 時(shí)， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 12 x ＋ 9 ＝ 3( x ＋ 1) ( x ＋ 3) ． 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問(wèn)題探究、課堂更高效 當(dāng) x ∈ ( － 3 ，－ 1) 時(shí)， f ( x ) 為減函數(shù)；當(dāng) x ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) 時(shí)， f ( x )為增函數(shù)， 所以 f ( x ) 在 x ＝－ 1 時(shí)取得極小值，因此 a ＝ 2 ， b ＝ 9. 小結(jié) ( 1) 利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值，常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為 0 和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求 解 ． ( 2) 因?yàn)?“ 導(dǎo)數(shù)值等于零 ” 不是 “ 此點(diǎn)為極值點(diǎn) ” 的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求 解 后，必須驗(yàn)證根的合理性． 本課時(shí)欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 研一研 問(wèn)題探究、課堂更高效 跟蹤訓(xùn)練 2 設(shè) x ＝ 1 與 x ＝ 2 是函數(shù) f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx2＋ x 的兩個(gè)極 值點(diǎn)． ( 1) 試確定常數(shù) a 和 b 的值； ( 2) 判斷 x ＝ 1 ， x ＝ 2 是函數(shù) f ( x ) 的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由． 解 ( 1) ∵ f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx 2 ＋ x ， ∴ f ′ ( x ) ＝ ax ＋ 2 bx ＋ 1. 由極值點(diǎn)的必要條件可知： f ′ ( 1) ＝ f ′ ( 2) ＝ 0 ， ∴ a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0 且 a2 ＋ 4 b ＋ 1 ＝ 0 ， 解方程組得， a ＝－ 23 ， b ＝－ 16 . ( 2) 由 ( 1)
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