【文章內容簡介】 好達到目標值，就是正、負偏差變量都要盡可能小 ,即 m in ( )Z f d d????b) 要求不超過目標值 ， 即允許達不到目標值 ， 就是正偏差變量要盡可能小 ， 即 )(min ?? dfZ c) 要求超過目標值，也就是超過量不限，但負偏差變量要盡可能小，即 )( ?? df基本形式有三種： 對每一個具體目標規(guī)劃問題，可根據(jù)決策者的要求和賦于各目標的優(yōu)先因子來構造目標函數(shù)。 （ 1）目標規(guī)劃數(shù)學模型的形式有：線性模型、非線性模型、整數(shù)模型、交互作用模型等； （ 2）一個目標中的兩個偏差變量 di、 di+至少一個等于零，偏差變量向量的叉積等于零： d－ d＋ =0； （ 3）一般目標規(guī)劃是將多個目標函數(shù)寫成一個由偏差變量構成的函數(shù)求最小值，按多個目標的重要性，確定優(yōu)先等級，順序求最小值； （ 4）按決策者的意愿，事先給定所要達到的目標值。 當期望結果不超過目標值時，目標函數(shù)求正偏差變量最??； 當期望結果不低于目標值時，目標函數(shù)求負偏差變量最小； 當期望結果恰好等于目標值時，目標函數(shù)求正負偏差變量之和最小。 評注： （ 5）由目標構成的約束稱為目標約束，目標約束具有更大的彈性，允許結果與所制定的目標值存在正或負的偏差；如果決策者要求結果一定不能有正或負的偏差，這種約束稱為系統(tǒng)約束； （ 6）目標的排序問題。多個目標之間有相互沖突時，決策者首先必須對目標排序。排序的方法有兩兩比較法、專家評分等方法，構造各目標的權系數(shù)，依據(jù)權系數(shù)的大小確定目標順序； （ 7）合理的確定目標數(shù)。目標規(guī)劃的目標函數(shù)中包含了多個目標，決策者對于具有相同重要性的目標可以合并為一個目標，如果同一目標中還想分出先后次序，可以賦予不同的權系數(shù)，按系數(shù)大小再排序。 （ 8）多目標決策問題．多目標決策研究的范圍比較廣泛，在決策中，可能同時要求多個目標達到最優(yōu)．例如，企業(yè)在對多個項目投資時期望收益率盡可能最大，投資風險盡可能最小，屬于多目標決策問題，本章的目標規(guī)劃盡管包含有多個目標，但還是按單個目標求偏差變量的最小值，目標函數(shù)中不含有決策變量，目標規(guī)劃只是多目標決策的一種特殊情形．本章不討論多目標規(guī)劃的求解方法，只給出利用 lingo軟件求解線性多目標規(guī)劃的簡單程序。 引例 1 生產計劃問題 甲 乙 資源限額 材料 2 3 24 工時 3 2 26 單位利潤 4 3 現(xiàn)在工廠領導要考慮市場等一系列其他因素 ， 提出如下目標： （ 1） 根據(jù)市場信息 ， 甲產品的銷量有下降的趨勢 ， 而乙產品的銷量有上升的趨勢 ， 故考慮乙產品的產量應大于甲產品的產量 。 （ 2） 盡可能充分利用工時 ， 不希望加班 。 （ 3） 應盡可能達到并超過計劃利潤 30元 。 現(xiàn)在的問題是：在原材料不能超計劃使用的前提下，如何安排生產才能使上述目標依次實現(xiàn)？ 解： （ 1） 決策變量：設每天生產甲 、 乙兩種產品各為 x1和 x2 偏差變量：對于每一目標 ， 我們引進正 、 負偏差變量 。 如對于目標 1， 設 d1表示乙產品的產量低于甲產品產量的數(shù) ，d1+表示乙產品的產量高于甲產品產量的數(shù) 。 稱它們分別為產量比較的負偏差變量和正偏差變量 。 則對于目標 1， 可將它表示為等式約束的形式 x1+x2+ d1 d1+ =0 (目標約束 ) 同樣設 d2和 d2+分別表示安排生產時 ， 低于可利用工時和高于可利用工時 ， 即加班工時的偏差變量 ， 則對目標 2， 有 3x1+2x2+ d2d2+ =26 對于目標 3，設 d3和 d3+分別表示安排生產時，低于計劃利潤30元和高于計劃利潤 30元的偏差變量，有： 4x1+3x2+ d3d3+ =30 （ 2） 約束條件：有資源約束和目標約束 資源約束： 2x1+3x2≤24 目標約束：為上述各目標中得出的約束 （ 3） 目標函數(shù)：三個目標依次為： minZ1=d1 ， minZ2=d2++d2 ， minZ3=d3 因而該問題的數(shù)學模型可表述如下： minZ1=d1 ， minZ2=d2++d2， minZ3=d3 2x1+3x2≤24 s． t． x1+x2+ d1 d1+ =0 3x1+2x2+ d2d2+ =26 4x1+3x2+ d3d3+ =30 例 某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，需要用到 A, B,C 三種設備，關于產品的贏利與使用設備的工時及限制如下表所示。問該企業(yè)應如何安排生產，才能達到下列目標： 甲 乙 設備的生產能力（ h） A(h/件 ) 2 2 12 B(h/件 ) 4 0 16 C(h/件 ) 0 5 15 贏利（元 /件） 200 300 四、多目標規(guī)劃問題求解的 LINGO程序 （ 1）力求使利潤指標不低于 1500 元； （ 2）考慮到市場需求，甲、乙兩種產品的產量比應盡量 保持 1:2； （ 3）設備 A 為貴重設備，嚴格禁止超時使用； （ 4）設備 C 可以適當加班，但要控制；設備 B 既 要求充分利用，又盡可能不加班。在重要性上，設備 B是設備 C 的 3倍。 建立相應的目標規(guī)劃模型并求解。 甲 乙 設備的生產能力（ h） A(h/件 ) 2 2 12 B(h/件 ) 4 0 16 C(h/件 ) 0 5 15 贏利（元 /件） 200 300 解：設備 A 是剛性約束，其余是柔性約束。首先，最重要的指標是企業(yè)的利潤，因此，將它的優(yōu)先級列為第一級；其次，甲、乙兩種產品的產量保持 1:2 的比例，列為第二級；再次，設備 C, B的工作時間要有所控制，列為第三級。在第三級中，設備 B的重要性是設備 C 的三倍，因此，它們的權重不一樣，設備 B 前的系數(shù)是設備 C 前系數(shù)的 3 倍。由此得到相應的目標規(guī)劃模型。設甲乙的產量分別為 。 1 1 2 2 2 3 3 3 4m in ( ) ( 3 3 )z P d P d d P d d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?121 2 1 11 2 2 21 3 32 4 4122 2 12 ,200 300 1500 ,2 0 ,4 16 ,5 15 , , , 0 , 1 , 2 , 3 , 4.iist x xx x d dx x d dx d dx d dx x d d i????????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ???求第一級目標。 LINGO 程序如下： model: sets: variable/1..2/:x。 S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus。 S_con(S_Con_Num,Variable):c。 endsets data: g=1500 0 16 15。 c=200 300 2 1 4 0 0 5。 enddata min=dminus(1)。 2*x(1)+2*x(2)12。 for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)dplus(i )=g(i))。 end 求得 dminus(1)=0，即目標函數(shù)的最優(yōu)值為 0，第一級偏差為 0。 求第二級目標， LINGO 程序如下： model: sets: variable/1..2/:x。 S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus。 S_con(S_Con_Num,Variable):c。 endsets data: g=1500 0 16 15。 c=200 300 2 1 4 0 0 5。 enddata min=dplus(2)+dminus(2)。 !二級目標函數(shù) 。 2*x(1)+2*x(2)12。 for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)dplus(i )=g(i))。 dminus(1)=0。!一級目標約束 。 for(variable:gin(x))。 end 求得目標函數(shù)的最優(yōu)值為 0，即第二級的偏差仍為 0。 求第三級目標， LINGO 程序如下： model: sets: variable/1..2/:x。 S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus。 S_con(S_Con_Num,Variable):c。 endsets data: g=1500 0 16 15。 c=200 300 2 1 4 0 0 5。 enddata min=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4)。 !三級目標函數(shù) 。 2*x(1)+2*x(2)12。 for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)dplus(i )=g(i))。