【文章內(nèi)容簡介】 TTAIN(FUN,X0,...)49在 MATLAB中，多目標問題的標準形式為 :其中： x、 b、 beq、 lb、 ub是向量；A、 Aeq為矩陣； C(x)、 Ceq(x)和 F(x)是返回向量的函數(shù)；F(x)、 C(x)、 Ceq(x)可以是非線性函數(shù)；weight為權(quán)值系數(shù)向量，用于控制對應(yīng)的目標函數(shù)與用戶定義的目標函數(shù)值的接近程度；goal為用戶設(shè)計的與目標函數(shù)相應(yīng)的目標函數(shù)值向量；? 為一個松弛因子標量；F(x)為多目標規(guī)劃中的目標函數(shù)向量。50例 ：某工廠因生產(chǎn)需要，欲采購一種原料，市場上這種原材料有兩個等級，甲級單價 2元 /kg,乙級單價 1元 /kg，現(xiàn)要求總費用不超過 200元，購得原料總量不少于 100kg,其中甲級原料不少于 50kg，問如何確定最好的采購方案。分析 :列出方程x1≥50。2x1+x2≤200。x1+x2≥100。x1,x2≥0化為標準形minf1=2x1+x2minf2=－ x1－ x2minf3=－ x1:2x1+x2≤200－ x1－ x2≤－ 100－ x1≤－ 50x1,x2≥051matlab程序fun=39。[2*x(1)+x(2),x(1)x(2),x(1)]39。a=[21。11。10]。b=[20010020]39。goal=[200,100,50]。weight=goal。x0=[55,55]。lb=[0,0]39。[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,[],[],lb,[])化為標準形minf1=2x1+x2minf2=－ x1－ x2minf3=－ x1:2x1+x2≤200－ x1－ x2≤－ 100－ x1≤－ 50x1,x2≥052Optimizationterminated:Searchdirectionlessthan2*andmaximumconstraintviolationislessthan.Activeinequalities(towithin=1e006):lowerupperineqlinineqnonlin223x=fval=attainfactor=exitflag=453一、土地利用問題 二、生產(chǎn)計劃問題 三、投資問題 四 多目標規(guī)劃應(yīng)用實例 54大豆一、土地利用問題例 :某農(nóng)場 I、 II、 III等耕地的面積分別為 100hm 300hm2和 200hm2，計劃種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為 190000kg、 130000kg和 350000kg。I、 II、 III等耕地種植三種作物的單產(chǎn)如下表所示。若三種作物的售價分別為水稻 /kg，大豆 /kg，玉米 /kg。那么，（ 1）如何制訂種植計劃，才能使總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大？ I等 耕 地 II等 耕 地 III等 耕 地水稻 11000 9500 9000大豆 8000 6800 6000玉米 14000 12023 1000055取 xij決策變量，它表示在第 j 等級的耕地上種植第 i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標，那么，目標函數(shù)包括： ② 追求總產(chǎn)值最大① 追求總產(chǎn)量最大 56根據(jù)題意，約束方程包括：v非負約束對上述多目標規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。v 耕地面積約束v 最低收獲量約束57 取 ?1=?2=,重新構(gòu)造目標函數(shù)： 這樣，就將多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標線性規(guī)劃。 用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表58此方案是： III等耕地全部種植水稻， I等耕地全部種植玉米， II等耕地種植大豆 、種植玉米 。在此方案下，線性加權(quán)目標函數(shù)的最大取值為 6445600。 用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表59 實際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我們還可以用目標規(guī)劃方法求解上述多目標規(guī)劃問題。如果我們對總產(chǎn)量 f1(X)和總產(chǎn)值 f1(X)，分別提出一個期望目標值（ kg）（元）并將兩個目標視為相同的優(yōu)先級。 60如果 d1+、 d1分別表示對應(yīng)第一個目標期望值的正、負偏差變量， d2+、 d2分別表示對應(yīng)于第二個目標期望值的正、負偏差變量，而且將每一個目標的正、負偏差變量同等看待（即可將它們的權(quán)系數(shù)都賦為 1），那么，該目標規(guī)劃問題的目標函數(shù)為： 對應(yīng)的兩個目標約束為：即： 61除了目標約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束式和最低收獲量約束式；非負約束，不但包括決策變量的非負約束式，還包括正、負偏差變量的非負約束： 解上述目標規(guī)劃問題，可以得到一個非劣解方案，詳見表 : 在此非劣解方案下，兩個目標的正、負偏差變量分別為 ， ， ， 。62二、生產(chǎn)計劃問題 某企業(yè)擬生產(chǎn) A和 B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費用分別為2100元 /t和 4800元 /t。 A、 B兩種產(chǎn)品的利潤分別為 3600元 /t和 6500元 /t。 A、 B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為 5t和 8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于 9t。試問該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計劃，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤達到最大 ?分析 :該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用 x1和 x2表示，它們分別代表 A、 B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位： t）； f1(x1,x2)表示生產(chǎn) A、 B兩種產(chǎn)品的總投資費用（單位：元）； f2(x1,x2)表示生產(chǎn) A、 B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標規(guī)劃問題就是：求 x1和 x2，使： 63分析 :該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用 x1和 x2表示，它們分別代表 A、 B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位： t）； f1(x1,x2)表示生產(chǎn) A、 B兩種產(chǎn)品的總投資費用（單位：元）； f2(x1,x2)表示生產(chǎn) A、 B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標規(guī)劃問題就是：求 x1和 x2，使： 而且滿足： 64 對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標是：（ 1）每個月的總投資不超 30000元；（ 2）每個月的總利潤達到或超過 45000元；（ 3）兩個目標同等重要。那么，借助 Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為： 而且滿足： 65而且滿足： [X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT]=FGOALATTAIN(FUN,X0,...)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)按照此方案進行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤 44000元，同時需要投資 29700元。 66三、投資問題 某企業(yè)擬用 1000萬元投資于 A、 B兩個項目的技術(shù)改造。設(shè) x x2分別表示分配給 A、 B項目的投資（萬元）。據(jù)估計，投資項目 A、 B的年收益分別為投資的 60%和 70% ；但投資風(fēng)險損失，與總投資和單項投資均有關(guān)系：據(jù)市場調(diào)查顯示， A項目的投資前景好于 B項目，因此希望 A項目的投資額不小 B項目。試問應(yīng)該如何在 A、 B兩個項目之間分配投資，才能既使年利潤最大，又使風(fēng)險損失為最??？ 67該問題是一個非線性多目標規(guī)劃問題，將它用數(shù)學(xué)語言描述出來，就是：求 x x2，使： 而且滿足： 對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標是：（ 1）每一年的總收益不小于 600萬元；（ 2）希望投資風(fēng)險損失不超過 800萬元；（ 3）兩個目標同等重要。那么，借助 Matlab軟件中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為： 68x1＝ ， x2＝ 此方案的投資風(fēng)險損失為 ，每一年的總收益為 。 matlab程序fun=39。[*x(1)*x(2),*x(1)^2+*x(2)^2+*x(1)*x(2)]39。a=[1,1]。b=[0]。Aeq=[1,1]。beq=[1000]。goal=[600,800]。weight=goal。x0=[600,600]。lb=[0,0]。[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,Aeq,beq,lb,[])69四、賽題舉例例 投資收益和風(fēng)險問題（這是 1998全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的 A題）。市場上有 種資產(chǎn)（股票、債券、等） 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為 的一筆相當大的資金可用作一個時間的投資。公司財務(wù)分析人員對 種資產(chǎn)進行評估，估算在這一時期內(nèi)購買 的平均收益率為 ，并預(yù)測出購買 的損失率為 考慮到投資越分散，總的風(fēng)險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時，總體風(fēng)險可用所投資的 中的最大一個風(fēng)險來度量。70? 購買 Si要付交易費，費率為 pi，并且當購買額不