【正文】 可行解，所以它們是 硬約束 。=0成立。其中，正偏差變量表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。d +、 d 、分別為第 dk+gk為第 個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)，?、分別為賦予 pl優(yōu)先因子的第 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束23在以上各式中，??kl+則多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題可以表示為：n在同一優(yōu)先級(jí) pk中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為 ?kl+① 根據(jù)市場(chǎng)信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢(shì)，因 此 甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量 。④ 應(yīng)盡可能 達(dá)到并超過(guò)計(jì)劃產(chǎn)值指標(biāo) 56萬(wàn)元 。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？21 但是，在實(shí)際決策時(shí)，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場(chǎng)等一系列其它條件，如：② 超過(guò)計(jì)劃供應(yīng)的 原材料 ，需用高價(jià)采購(gòu)，這就會(huì)使生產(chǎn) 成本增加。 由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大，這個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求 x1， x2，使 試問(wèn)：如何確定其生產(chǎn)方案使得企業(yè)獲利最大？20給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法19167。目標(biāo)規(guī)劃模型167。 這一方法是美國(guó)學(xué)者查恩斯（ ）和庫(kù)伯（ ）于 1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來(lái)的。表示處于第 l級(jí)的目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù) . Kl相比的目標(biāo)超過(guò)值和不足值，即正、負(fù)偏差變量； pl表示第 l個(gè)優(yōu)先級(jí)； ?lk+、 ?lk表示在同一優(yōu)先級(jí) di－ 分別表示與 L≤K)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為： fi*需要預(yù)先確定各個(gè)目標(biāo)的期望值 16方法五 目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法） 為一松弛因子。再設(shè) i=1,2,…, k?i*)(13理論依據(jù) ：若規(guī)劃問(wèn)題的 某一目標(biāo) 可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以 作為約束條件 而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。(i=1,2,…, kA是由 是與第 i個(gè)目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的 權(quán)重 ；之間的偏差來(lái)選擇問(wèn)題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：或?qū)懗删仃囆问剑? 式中， 罰款模型 （平方加權(quán)法） ?i 應(yīng)滿足：向量形式：12方法二 這種方法將一系列的 目標(biāo)函數(shù) 與 效用函數(shù) 建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過(guò)效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題： 11在 用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo) 時(shí)，需要確定一組 權(quán)值 方法一 實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。 目標(biāo)規(guī)劃模型二 多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡(jiǎn)介 約束模型252。 效用最優(yōu)化模型252。 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí)，就不會(huì)存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱 非支配解或帕累托解 ）。而對(duì)于方案 ⑤ 、 ⑥、 ⑦ 之間則無(wú)法確定優(yōu)劣，而且又沒(méi)有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的 非劣解 或 有效解 ，其余方案都稱為 劣解 。圖 1 多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解8在各個(gè)方案之間，顯然： ④ 比 ① 好， ⑤ 比④ 好 , ⑥ 比 ② 好 , ⑦ 比③ 好 …… 。f1f2.就方案 ① 和 ② 來(lái)說(shuō)， ① 的 在圖 1中， max(f1,對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲ 每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問(wèn)題可以得到 最滿意的解決？▲ 每一個(gè)決策變量取什么值，原問(wèn)題可以得到 最滿意的解決 ？7 6多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解 （ 1）（ 2） G是 m維常數(shù)向量；是 k維函數(shù)向量，Z=F(X) 4縮寫(xiě)形式：有 n個(gè)決策變量， k個(gè)目標(biāo)函數(shù)， （二）對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫(xiě)為如下形式： 一 多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解 即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、理想點(diǎn)法等；另一種叫 分層序列法 ，即把目標(biāo)按其重要性給出一個(gè)序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。 2求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是 化多為少的方法 帕雷托最早研究 不可比較目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，之后， 1896年法國(guó) 經(jīng)濟(jì)學(xué)家 在很多實(shí)際問(wèn)題中，例如經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、科學(xué)和工程設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，衡量一個(gè)方案的好壞往往難以用一個(gè)指標(biāo)來(lái)判斷，而需要用多個(gè)目標(biāo)來(lái)比較，而這些目標(biāo)有時(shí)不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾的。MOP(multiobjective又稱多目標(biāo)最優(yōu)化。l多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡(jiǎn)介效用最優(yōu)化模型 罰款模型約束模型 目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)達(dá)到法l目標(biāo)規(guī)劃方法l目標(biāo)規(guī)劃模型l目標(biāo)規(guī)劃的圖解法 l求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法l多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例 1多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分支。第九講 多目標(biāo)規(guī)劃方法 l多目標(biāo)規(guī)劃解的討論 —— 非劣解 研究 多于一個(gè)的目標(biāo)函數(shù) 在 給定區(qū)域 上的最優(yōu)化。通常記為 programming)。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。V.諾伊曼、 . 庫(kù)恩、 . 塔克、 數(shù)學(xué)家做了深入的探討 ，但是 尚未有一個(gè)完全令人滿意的定義 。 對(duì)多目標(biāo)的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當(dāng) 修正單純形法 來(lái)求解；還有一種稱為 層次分析法 ，是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家沙旦于 70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策與分析方法，對(duì)于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實(shí)用。3 多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部分組成： （ 1）兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)； （ 2）若干個(gè)約束條件。式中： 為 決策變量向量 。m個(gè)約束方程，則：?(X)是 m維函數(shù)向量；5 對(duì)于 線性多目標(biāo)規(guī)劃 問(wèn)題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：式中： X 為 n 維決策變量向量； C 為 k n 矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣； B 為 m n 矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣； b 為 m 維的向量，即約束向量。多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最?。活櫰渌繕?biāo)。f2)目標(biāo)值比 ② 大，但其目標(biāo)值 比 ② 小，因此無(wú)法確定這兩個(gè)方案的優(yōu)與劣。 非劣解 可以用圖 1說(shuō)明。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為 非劣解集 。 9252。 罰款模型252。 目標(biāo)達(dá)到法252。 為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題 去處理。10?是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的 效用函數(shù)的 和函數(shù) 。效 用最優(yōu)化模型 （ 線性加權(quán)法 ） （ 1） （ 2） 思想 ：規(guī)劃問(wèn)題的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò) 一定 的 方式進(jìn)行 求和 運(yùn)算。?i 來(lái)反映原問(wèn)題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中， 思想 :規(guī)劃決策者對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)都能提出所 期望的值（或稱 滿意值 ）；通過(guò)比較實(shí)際值 fi與期望值 fi*)組成的 mm對(duì)角矩陣。假如，除第一個(gè)目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個(gè)可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題： 方法三 約束模型 （ 極大極小法 ） 14方法四 目標(biāo)達(dá)到法 首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式： 15在求解之前，先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo) fi*i=1,2,…, k,每一個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為 ()?那么，多目標(biāo)規(guī)