樣本及抽樣分布(編輯修改稿)
2025-03-12 18:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (1) ??? niiXnX11觀測值記為 (2) ??niixnx112 樣本方差 (3) ? ? ?????? ?????? ????niinii XnXnXXnS1222121111觀測值記為 (4) ? ? ?????? ?????? ????niinii xnxnxxns1222121111數(shù)理統(tǒng)計中最常用的 統(tǒng)計量 及其 觀測值 有： 樣本標準差 (5) 它的觀測值記為 (6) 樣本階原點矩 (7) 它的觀測值記為 (8) 顯然，樣本的一階原點矩就是樣本均值。 ? ??????? nii XXnSS12211 ? ??????nii xxnss12211?,2,1,11?? ??kXnA nikik ?,2,1,11???kxna nikik 樣本階中心矩 (9) 它的觀測值記為 (10) 顯然，樣本一階中心矩恒等于零。 當樣本容量 較大時，相同的樣本觀測值 往 往可能重復出現(xiàn)，為了使計算簡化， 應先把所得的數(shù)據(jù)整理，設得到下表： ? ? ?,2,1,11??? ??kXXnBkniik ? ? ?,2,1,11??? ??kxxnbkniikn ix 觀測值 … 總計 頻數(shù) … 其中 . 于是樣本均值 ，樣本方差 樣本二階中心矩 可以分別按下列公式計算： ???liinn1x 2s??1x? ?2x ??lx2n lnn2b ? ????liii xnnx11(1) ? ?? ??????liii xxnns12211(2) ? ?? ????? liii xxnn1221(3) 若總體 的 階矩 存在 Xk ? ? kkxE ??獨立且與 同分布。故有 knkk XXX , 21 ?kX ? ? ? ? ? ? kknkk XEXEXE ????? ?21與樣本二階中心矩 n2s2b顯然，當樣本容量 充分大時，樣本方差 是近似相等的 ??n kPkA ?? ?? ?,2,1?k則當 時 獨立且與 同分布 ，所以 nXX , 21 ?因為 進而由第五章中關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知道 kPnikik XnA ?? ??? ?? 11?,2,1?k ? ? ? ?kPk gAAAg ??? ,, 2121 ?? ? ??其中 為連續(xù)函數(shù)，這就是下一章所要介紹的矩估計法的理論根據(jù)。 g從而由第五章的大數(shù)定理知 習題 6－ 3 5只 ， 測得其直徑分別為 （ 單位：毫米 ） ： （ 1）寫出總體、樣本、樣本值、樣本容量 （ 2）求樣本觀測值的均值、方差。 2．設抽樣得到樣本觀測值為 計算樣本均值、樣本標準差、樣本方差與樣本二 階中心矩。 3．設抽樣得到 100個樣本觀測值如下： 觀測值 1 2 3 4 5 6 頻數(shù) 15 21 25 20 12 7 計算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心 矩。 4．設 ， 為 的樣本均值與樣本方差作數(shù)據(jù)變換： x2xs nxxx , 21 ?? ? ? ?nicaxy ii ,2,1 ????ixin設 ， 為 的樣本均值與樣本方差， 證明 （ 1） （ 2） y2ys nyyy , 21 ? ycax ?? 222 yx scs ?，其容量分別為 及 ， 設兩組的樣本均值分別為 及 樣本方差分別為 及 把這兩組樣本合并為一組容量為 的聯(lián)合 樣本，證明： （ 1）聯(lián)合樣本的樣本均值 （ 2）聯(lián)合樣本的樣本方差 1n21X2 21S22S 21 nn ? 212211nnXnXnX??? ? ? ? ? ? ?2122121212222112111nnXXnnnnSnSn?????????第四節(jié) 抽樣分布 統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。 在使用統(tǒng)計量進行統(tǒng)計推斷時常需知道它的分布。 當總體的分布函數(shù)已知時，抽樣分布是確定的，然而要求出統(tǒng)計量的精確分布，一般來說是困難的。 本節(jié)介紹來自正態(tài)總體的幾個常用統(tǒng)計量的分布。 今后，我們將看到這些分布在數(shù)理統(tǒng)計中有重要的應用。 一、三個重要分布 為了討論正態(tài)總體下的抽樣分布，先引入由正態(tài) 分布導出的統(tǒng)計中的三個重要分布，即 分布 ， 分布 ， 分布 。 分布 設 是來自總體 的樣本，則稱統(tǒng)計量 （ 1） 服從自由度為 的 分布， 記為 2?tF2nXXX , 21 ?? ?1,0N 222212 nXX ???? ??n2 ? ?n22 ~ ??? ?n2?? ? ? ???????????其它,0,0,221 2122 yeynyfynn? ?yf此處，自由度是指（ 1）式右端包含獨立變量個數(shù) 分布的概率密度為 的圖形如圖 6－ 3所示。 （ 2） 圖 6－ 3 ? ?2122221 ~ nn ?? ???此結(jié)論可推廣：設 且相互 獨立 ? ?ii nX 2~ ?? ?ki ,2,1 ?? ???????? ??niikii nX121~ ?2?分布的可加性 ? ?1221 ~ n?? ? ?2222 ~ n?2221 ,??設 ， 并且 獨立，則 （證明略） 則 若 ，則有 ? ?n22 ~ ?? ? ? nE
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