第六章樣本及抽樣分布(編輯修改稿)
2025-07-24 02:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 以必是一個(gè)分布函數(shù)。一般地，隨著的增大，越來越接近的分布函數(shù)，關(guān)于這一點(diǎn)，格列汶科（Glivenko）在1953年給了理論上的論證，即：(GlivenkoTh)：若總體的分布函數(shù)為，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為，則對(duì)，有： []定理表明，以概率1一致收斂于，即：可以用來近似，這也是利用樣本來估計(jì)和判斷總體的基本理論和依據(jù)。例4：某廠從一批熒光燈中抽出10個(gè)，測(cè)其壽命的數(shù)據(jù)（單位千時(shí)）如下：， ， ， ， ， ， ， ， ， 求該批熒光燈壽命的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)（觀察值）。解：將數(shù)據(jù)由小到大排列得：，，，，，則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為： 二、利用直方圖求密度函數(shù)的近似解：設(shè)（）為來自總體的一個(gè)樣本，其樣本觀察值為()，將該組數(shù)值分成組，可作分點(diǎn)：（各組距可以不相等），則各組為：(,],(,，……，(，,若樣本觀察值中每個(gè)數(shù)值落在各組中的頻數(shù)分別為，，…，則頻率分別為：，……；以各組為底邊，以相應(yīng)組的頻率除以組距為高，建立個(gè)小矩形，即得總體的直方圖。由上分析可知：直方圖中每一矩形的面積等于相應(yīng)組的頻率設(shè)總體的密度函數(shù)為，則：總體（真實(shí)值）落在第組(，的概率為：。由Bernoulli大數(shù)定理可知：當(dāng)n很大時(shí)，樣本觀察值（單個(gè)）落在該區(qū)間的頻率趨近于此概率；即：( ，上矩形的面積接近于在此區(qū)間上曲邊梯形的面積，當(dāng)n無限增大時(shí)，分組組距越來越小，直方圖就越接近總體的密度函數(shù)的圖象。（這與定積分的意義具有同樣的道理）。167。 樣本的數(shù)字特征由第三章節(jié)知：隨機(jī)變量的數(shù)字特征，能夠反映隨機(jī)事件的某些重要的概率特征，從第一節(jié)可知，樣本也是一組隨機(jī)變量（隨機(jī)向量），為了詳細(xì)刻劃樣本觀察值中所包含總體的信息及樣本值的分布情況，下面我們研究樣本的數(shù)字特征。一、樣本均值與樣本方差（隨機(jī)變量）定義1，設(shè)（）是來自總體的一個(gè)樣本，稱為樣本均值。為樣本方差。為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。樣本均值與樣本方差分別刻劃了樣本的位置特征及樣本的分散性特征。二、矩（數(shù)值）設(shè)總體的分布函數(shù)為，則稱（假設(shè)它存在）為總體的階原點(diǎn)矩；稱為總體的階中心矩。把總體的各階中心矩和原點(diǎn)矩統(tǒng)稱為總體矩——表示總體的數(shù)字特征。特別地：=；是總體的期望和方差。仿此，下面給出樣本矩的定義：（）定義2：設(shè)是來自總體的一個(gè)樣本，則稱，=1，2，3……；為樣本的階原點(diǎn)矩（隨機(jī)變量），=1，2，3……；為樣本值的階中心矩（隨機(jī)變量）。特別地，但與卻不同，由與的計(jì)算式可知：，當(dāng)時(shí)，=，所以常利用來計(jì)算S（標(biāo)準(zhǔn)差）。 【注】： ，這就是下一章要介紹的矩估計(jì)的理論根據(jù)。由上述定義可知：樣本均值、樣本方差、樣本均方差、樣本矩都是關(guān)于樣本的函數(shù)，而樣本本身又是隨機(jī)變量。因此，上述關(guān)于樣本的數(shù)字特征也是隨機(jī)
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