第六章樣本及抽樣分布(編輯修改稿)
2025-07-24 02:46 本頁面
【文章內容簡介】 以必是一個分布函數。一般地，隨著的增大，越來越接近的分布函數，關于這一點，格列汶科（Glivenko）在1953年給了理論上的論證，即：(GlivenkoTh)：若總體的分布函數為，經驗分布函數為，則對，有： []定理表明，以概率1一致收斂于，即：可以用來近似，這也是利用樣本來估計和判斷總體的基本理論和依據。例4：某廠從一批熒光燈中抽出10個，測其壽命的數據（單位千時）如下：， ， ， ， ， ， ， ， ， 求該批熒光燈壽命的經驗分布函數（觀察值）。解：將數據由小到大排列得：，，，，，則經驗分布函數為： 二、利用直方圖求密度函數的近似解：設（）為來自總體的一個樣本，其樣本觀察值為()，將該組數值分成組，可作分點：（各組距可以不相等），則各組為：(,],(,，……，(，,若樣本觀察值中每個數值落在各組中的頻數分別為，，…，則頻率分別為：，……；以各組為底邊，以相應組的頻率除以組距為高，建立個小矩形，即得總體的直方圖。由上分析可知：直方圖中每一矩形的面積等于相應組的頻率設總體的密度函數為，則：總體（真實值）落在第組(，的概率為：。由Bernoulli大數定理可知：當n很大時，樣本觀察值（單個）落在該區(qū)間的頻率趨近于此概率；即：( ，上矩形的面積接近于在此區(qū)間上曲邊梯形的面積，當n無限增大時，分組組距越來越小，直方圖就越接近總體的密度函數的圖象。（這與定積分的意義具有同樣的道理）。167。 樣本的數字特征由第三章節(jié)知：隨機變量的數字特征，能夠反映隨機事件的某些重要的概率特征，從第一節(jié)可知，樣本也是一組隨機變量（隨機向量），為了詳細刻劃樣本觀察值中所包含總體的信息及樣本值的分布情況，下面我們研究樣本的數字特征。一、樣本均值與樣本方差（隨機變量）定義1，設（）是來自總體的一個樣本，稱為樣本均值。為樣本方差。為樣本標準差。樣本均值與樣本方差分別刻劃了樣本的位置特征及樣本的分散性特征。二、矩（數值）設總體的分布函數為，則稱（假設它存在）為總體的階原點矩；稱為總體的階中心矩。把總體的各階中心矩和原點矩統(tǒng)稱為總體矩——表示總體的數字特征。特別地：=；是總體的期望和方差。仿此，下面給出樣本矩的定義：（）定義2：設是來自總體的一個樣本，則稱，=1，2，3……；為樣本的階原點矩（隨機變量），=1，2，3……；為樣本值的階中心矩（隨機變量）。特別地，但與卻不同，由與的計算式可知：，當時，=，所以常利用來計算S（標準差）。 【注】： ，這就是下一章要介紹的矩估計的理論根據。由上述定義可知：樣本均值、樣本方差、樣本均方差、樣本矩都是關于樣本的函數，而樣本本身又是隨機變量。因此，上述關于樣本的數字特征也是隨機
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