概率論與數(shù)理統(tǒng)計第六章樣本及抽樣分析(編輯修改稿)
2025-02-04 06:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 計 點(diǎn)估計 極大似然估計 矩估計 參數(shù)估計是對已知 分布類型的總體 ， 利用樣本對其未知參數(shù)作出估計 點(diǎn)估計 用樣本的統(tǒng)計量 來估計總體的未知參數(shù) θ ，就是點(diǎn)估計。 (一）矩估計法 用樣本矩估計總體矩的方法 ),(?? nXXX ?21?? ?原點(diǎn)矩 總體矩 樣本矩 一階矩 二階矩 ?????? dxxxfEX )(???niiXnA111 ?????? dxxfx )(22??niiXn1221由大數(shù)定律 , 1}|1{|lim1?????????niin XnP這說明了把樣本均值作為總體期望的一個估計的合理性 . 樣本均值 用樣本均值 估計 . 即 X μ,1 1??? ni iXnXEX 則 . 我們知道 , 若 ),(~ 2??NX ??)( XE點(diǎn)估計 矩估計法 步驟 ： （ 1）用未知參數(shù)列出總體矩（ EX, EX2 ） （ 2）從中解出未知參數(shù) （ θ1, θ2） （ 3）用樣本矩（ A1, A2 ）代替總體矩（ EX, EX2 ） 第七章 參數(shù)估計 點(diǎn)估計 例 3 ，求 θ1,θ2的矩估計量。 解： 4)(12)()(,22212122221 ?????? ???????? EXDXEXEX ),(~21 ??UX ))((12)( 22212 EXEX ??? ?? EX212 ?? ?? )(3?,)(3? 2121221211 AAAAAA ?????? ?? ))((122212 EXEX ??? ? ))((3 222,1 EXEXEX ??第七章 參數(shù)估計 點(diǎn)估計 )(3?,)(3? 2121221211 AAAAAA ?????? ?? 1)()1()()1()(212122122?????????????nAAnnXnXnXXSni ini innSXnnSX/)(?/)(?131321????????第七章 參數(shù)估計 點(diǎn)估計 例 4 ，取自此總體一組樣本觀測值為 0,2,2,3,3。 求 θ的矩估計量。 解： ),(~ ?0UX 4222?2,2/2/)0(1 ????????AEXEX????)(32)(3?)99440(,22121221???????????????AAAAA?第七章 參數(shù)估計 點(diǎn)估計 例 4 設(shè)總體 X 的密度 求 θ的矩估計量。 解： )(,)()。( 10101 ????? ???? ??? ?othersxxxf,11 ??? EXEX? 212)1()1( 10210 ???????? ??????? ?? xdxxxEX11? ?? XX?第七章 參數(shù)估計 點(diǎn)估計 （二）極大似然估計法 根據(jù)發(fā)生的結(jié)果 A，對最有利于 A 的發(fā)生作出參數(shù)估計，即概率大的事件發(fā)生的可能性也大。 所謂結(jié)果 A 發(fā)生的可能性，指樣本取到觀測值 X1 = x1, X2 = x2, …… , Xn = xn 的概率（或密度函數(shù)） 第七章 參數(shù)估計 點(diǎn)估計 例 1 X ~ P(λ)， 求 λ 的極大似然估計。 解： 已知分布律 ?.2,1,0,!}{ ??? ? kekkXPk??XXnnd Ld ?????? ??? ?,0ln對數(shù)的似然方程 樣本的似然函數(shù)（出現(xiàn)可能性） ??? ????????? ni ixn exxxxLi121 !),(????取對數(shù) ? ????????????????ni ini ini iixxnxxL111)!ln(ln)!ln(lnln????第七章 參數(shù)估計 例 2 的極大似然估計。 解： 樣本的似然函數(shù)（樣本觀察值被取到的概率） 取對數(shù) 對數(shù)的 似然方程組 解方程組 22 ???? ,),(~ NX ??????niixnL12222 )(21)2ln(2)),(ln( ?????? ? ? ?????? ??? ??niin xL1222 )(21exp21),( ?????? 212211)(1?,1? SnnXxnXxnniinii??????? ??????0)(212ln0)(1ln1242212????????????????niiniixnLxL???????第七章 參數(shù)估計 點(diǎn)估計 極大似然估計 步驟： 1. 建立樣本的似然函數(shù) L(x,θ)，包含有未知參數(shù) θ ，表示樣本發(fā)生的可能性； ； ，并置零； ， 得參數(shù)的極大似然估計 。 例 2 設(shè)離散總體 X 的概率分布為 試由一個樣本觀測值 X1 = 1, X2 = 2, X3 = 1，求 θ的矩估計和極大似然估計。 第七章 參數(shù)估計 練習(xí) 例 1 設(shè)總體 X 的概率密度為 X1, X2, … , Xn 為來自總體的樣本，試求 θ 矩估計和極大似然估計。 ??? ???? ?othersxxxf,00,10,),( 1 ??? ?X 1 2 3 p 22 )1()1(2 ???? ??例 4 設(shè)每 升自來水中含有大腸菌的個數(shù)服從泊松分布 P(λ)，為檢查自來水消毒設(shè)備效果，抽樣化驗 問每升中大腸菌多少時，才能上述情況出現(xiàn)概率最大 第七章 參數(shù)估計 練習(xí) 例 3 設(shè)某種電子設(shè)備的壽命 T 服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，今隨機(jī)抽取 8 件做壽命試驗，結(jié)果為：1
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