隨機(jī)抽樣、用樣本估計總體、正態(tài)分布(編輯修改稿)
2025-03-23 12:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 6 , 8 , 5 , 6 ， 則該組數(shù)據(jù)的方差 s2＝ 3. 2 . 【解析】 因為 x－＝15( 10 ＋ 6 ＋ 8 ＋ 5 ＋ 6 ) ＝ 7 ， 所以 s2＝15[( 10 － 7 )2＋ ( 6 － 7 )2＋ ( 8 － 7 )2＋ ( 5 － 7 )2＋ ( 6 － 7 )2] ＝ . 5. 已知隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N ( 2 ， σ2) ， 且 P ( X4 ) ＝ ，則 P ( 0X2 ) ＝ . 【解析】 因為 μ ＝ 2 ，所以 P ( X4 ) ＝ 1 － P ( X ≥ 4 ) ＝ 0. 8 ， 所以 P ( X ≥ 4 ) ＝ P ( X ≤ 2 ) ＝ ， 所以 P ( 0X 2 ) ＝12P ( 0X 4 ) ＝12( 1 － 2 ) ＝ 0. 3. 一 用樣本估計總體 【例 1 】 在某次測驗中 ， 有 6 位同學(xué)的平均成績?yōu)?75 分 ． 用xn表示編號為 n ( n ＝ 1 , 2 ， ? ， 6 ) 的同學(xué)所得成績 ， 且前 5 位同學(xué)的成績?nèi)缦?： ( 1 ) 求第 6 位同學(xué)的成績 x6， 以及這 6 位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差 s ； ( 2 ) 從前 5 位同學(xué)中 ， 隨機(jī)地選 2 位同學(xué) ， 求恰有 1 位同學(xué)成績在區(qū)間 ( 68 , 75 ) 中的概率 ． 【解析】 ( 1 ) 因為這 6 位同學(xué)的平均成績?yōu)?75 分， 所以16( 70 ＋ 76 ＋ 72 ＋ 70 ＋ 72 ＋ x6) ＝ 75 ，所以 x6＝ 90 ， 即第 6 位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?90 分， 這 6 位同學(xué)成績的方差為 s2＝16 [( 70 － 75 )2＋ ( 76 － 75 )2＋ ( 72 － 75 )2＋ ( 70 － 75 )2＋( 72 － 75 )2＋ ( 90 － 75 )2] ＝ 49 ， 所以標(biāo)準(zhǔn)差 s ＝ 7. ( 2 ) 從前 5 位同學(xué)中隨機(jī)選取 2 位同學(xué)，共有 C25＝ 10 種結(jié)果，恰有一位同學(xué)的成績在 ( 68 , 75 ) 中有 ( 70 , 76 ) ， ( 76 , 72 ) ，( 76 , 70 ) ， ( 76 , 72 ) 共 4 種結(jié)果，故所求概率為 P ＝410＝ 0. 4. 【點評】 用樣本估計總體即用樣本的平均值、方差、 標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的平均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 ． 設(shè)矩形的長為 a ， 寬為 b ， 其比滿足 b ∶ a ＝5 － 12≈ 18 ， 這種矩形給人以美感 ， 稱為黃金矩形 ． 黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計中 ． 下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本 ： 甲批次 ： 98 25 95 39 乙批次 ： 18 13 22 20 素材 1 根據(jù)上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數(shù) ， 與標(biāo)準(zhǔn)值 18 比較 ， 正確結(jié)論是 ( ) A ． 甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 B ． 乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 C ． 兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同 D ． 兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定 【解析】 甲批次的平均數(shù)為 17 ，乙批次的平均數(shù)為 . 所以，可以估計甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近，故選 A . 【點評】 樣本估計總體即以樣本的平均數(shù)、方差估計總體的平均數(shù)、方差 ． 二 莖葉圖及應(yīng)用 【例 2 】 ( 20 1 1 深圳第一次調(diào)研 ) 第 26 屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會將于 201 1 年 8 月 12 日到 23 日在深圳舉行 ， 為了搞好接待工作 ， 組委會在某學(xué)院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者 ． 將這 30 名志愿者的身高編成如下所示的莖葉圖 ( 單位 ： cm ) ： 若身高在 175 cm 以上 ( 包括 175 cm ) 定義為 “ 高個子 ” ， 身高在 175 cm 以下 ( 不包括 175 cm ) 定義為 “ 非高個子 ” ， 且只有“ 女高個子 ” 才擔(dān)任 “ 禮儀小姐 ” ． ( 1 ) 如果用分層抽樣的方法從 “ 高個子 ” 和 “ 非高個子 ”中抽取 5 人 ， 再從這 5 人中選 2 人 ， 那么至少有一人是 “ 高個子 ” 的概率是多少 ？ ( 2 ) 若從所有 “ 高個子 ” 中選 3 名志愿者 ， 用 ξ 表示所選志愿者中能擔(dān)任 “ 禮儀小姐 ” 的人數(shù) ， 試寫出 ξ 的分布列 ， 并求ξ 的數(shù)學(xué)期望 ． 【解析】 ( 1 ) 根據(jù)莖葉圖，有 “ 高個子 ” 12 人， “ 非高個子 ” 18 人， 用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是530＝16， 所以選中的 “ 高個子 ” 有 12 16＝ 2 人， “ 非高個子 ” 有 18 16＝ 3 人 ． 用事件
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