第2章-21-211橢圓及其標準方程(編輯修改稿)
2025-12-23 15:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 b2 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) ． ∵ 橢圓經(jīng)過兩點 ( 2 , 0 ) ， ( 0 , 1 ) ， ∴????? 0a2 ＋4b2 ＝ 1 ，1a2 ＋0b2 ＝ 1.則????? a ＝ 1 ，b ＝ 2.與 a ＞ b 矛盾，故舍去． 綜上可知，所求橢圓的標準方程為x24＋ y2＝ 1. 法二 設(shè)橢圓方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m ≠ n ) ． ∵ 橢圓過 ( 2 , 0 ) 和 ( 0 , 1 ) 兩點， ∴????? 4 m ＝ 1 ，n ＝ 1 ，∴????? m ＝14，n ＝ 1 ， 故所求橢圓方程為x24＋ y2＝ 1. 1 ． 求橢圓的標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，即先由條件確定焦點位置，設(shè)出方程，再設(shè)法求出 a2， b2代入所設(shè)方程，也可以簡記為：先定位，再定量． 2 ．當焦點位置不確定時，可設(shè)橢圓方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m ≠ n ，m ＞ 0 ， n ＞ 0) ．因為它包括焦點在 x 軸上 ( m ＜ n ) 和焦點在 y 軸上 ( m＞ n ) 兩類情況，所以可以避免分類討論，從而達到了簡化運算的目的． 本例 ( 2 ) 若改為 “ 經(jīng)過 ( － 2 3 ， 1) 和 ( 3 ，－ 2) 兩點 ” ，其他條件不變，試求橢圓的標準方程． 【解】 設(shè)橢圓的標準方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m ≠ n ) ， 將點 ( － 2 3 ， 1) ， ( 3 ，－ 2) 代入上述方程得????? 12 m ＋ n ＝ 1 ，3 m ＋ 4 n ＝ 1 ， 解得????? m ＝115，n ＝15，故所求橢圓的標準方程為x215＋y25＝ 1. 求與橢圓有關(guān)的軌跡方程 求過點 P ( 3 , 0 ) 且與圓 x 2 ＋ 6 x ＋ y 2 － 91 ＝ 0 相內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程． 【思路探究】 ( 1 ) 兩圓內(nèi)切時圓心距與兩圓的半徑的關(guān)系是什么？ ( 2 ) 橢圓的定義是什么？ 【自主解答】 將點 ( 3 , 0 ) 代入 x2＋ 6 x ＋ y2－ 91 ＝－ 64 ＜ 0 ，所以點 P 在圓內(nèi)，圓方程配方整理得 ( x ＋ 3)2＋ y2＝ 102，圓心為 C1( －3 , 0 ) ，半徑為 R ＝ 1 0 . 設(shè)所求動圓圓心為 C ( x ， y ) ，半徑為 r ，依題意有????? |PC |＝ r ，|CC1|＝ R － r ，消去 r 得 R － |PC |＝ |CC1|? |PC |＋ |CC1|＝ R ，即|PC |＋ |CC1|＝ 1 0 . 又 P ( 3 , 0 ) ， C1( － 3 , 0 ) ，且 |PC1|＝ 6 ＜ 1 0 . 可見動圓圓心 C 的軌跡是以 P ， C1為兩焦點的橢圓，且 c ＝ 3 , 2 a ＝ 10 ，所以 a ＝ 5 ，從而 b＝ 4 ，故所求的動圓圓心的軌跡方程為x225＋y216＝ 1. 利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟 已知 A????????－12， 0 ， B 是圓 F ：????????x －122＋ y2＝
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