期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型(編輯修改稿)
2025-03-08 05:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 念 如何求積分？ 三、兩個(gè)積分 2023/3/8 51 ? ?20 e xp / 2 0S T x r T X????? ? ? ???200ln2XrTSxT???? ?????? ???????由 求得 ? ?? ?202 20 e xp / 22xrTxeV S T x r T X e dx???? ? ?????? ? ? ? ????????202001 ( 1 ( ) ) ( )2xxXe dx X N x XN x?? ???? ? ? ? ? ? ??????2023/3/8 52 將上述積分展開成兩部分 第二部分 2023/3/8 53 202201 e xp22xxS T x r T e dx???? ??? ?????? ??????? ? ?202201 e xp e xp22xxS r T T x e dx? ??? ??? ?? ?022201e xp e xp2 2 22 xxT TS r T dx?????????? ??? ? ? ????????第一部分 2023/3/8 54 Txy ???變量代換， 則 ? ?022022221e xp22212xTyxTxT Tdxe e dx??? ????? ????????????????? ?? ?2201Te N x T??? ? ?2023/3/8 55 所以積分式的第二項(xiàng)等于 ? ?? ?00rTS e N x T???? ?? ? ? ?? ? ? ?0 0 00 1 2rTrTV S N x T Xe N xS N d Xe N d? ??? ? ? ? ???將上述第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的結(jié)果代入，得 NoImag e201202ln2ln2SrTXdTSrTXdT????? ????????????? ???????????????????? ?????2023/3/8 56 其中 ? 金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來(lái)收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)， E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值。所有的利率都使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率 μ。 要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格 ST，我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因此， () [ m a x( , 0) ]r T tTc e E S X????? 2l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]2TS S r T t T t???? ? ? ?2023/3/8 57 上式的右邊求值是一個(gè)積分過(guò)程，求得： ? N（ x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于 x的概率）。 ? 這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 2023/3/8 58 21221l n( / ) ( / 2) ( )l n( / ) ( / 2) ( )S X r T tdTtS X r T td d T tTt?????? ? ???? ? ?? ? ? ??()12( ) ( )r T tc SN d X e N d???? 首先， N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中 ST大于 X的概率，或者說(shuō)是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， er(Tt)XN(d2)是 X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= er(Tt)ST N(d1)是 ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。因此，這個(gè)公式就是未來(lái)收益期望值的貼現(xiàn)。 2023/3/8 59 其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量， SN（ d1)就是股票的市值 , er(Tt)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（ Assetornoting call option）多頭和現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（ cashornothing option）空頭， SN(d1)是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值， er(Tt)XN(d2)是 X份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。 )( 1dN??2023/3/8 60 ? 資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為 er(Tt)STN(d1)= SN(d1) ? 現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付 1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格的概率為N(d2) ， 1份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為 er(Tt)N(d2) 。 2023/3/8 61 2023/3/8 62 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格與歐式看跌期權(quán)的價(jià)格有關(guān) 若賣空一份帶拋補(bǔ)的看漲期權(quán) 以 S 的價(jià)格買入一股股票 以 C 的價(jià)格賣出一份看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)為 X 同時(shí)又買了一份價(jià)格為 P 的看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)為 X （ 到期時(shí)間和執(zhí)行價(jià)與看漲期權(quán)相同 ） ,SXSX??若 則 到 期 收 益 為 X若 則 到 期 收 益 為 X2023/3/8 63 CPS ???頭寸的成本? ? XeCPS r ??? ?rC P S e X??? ? ?則當(dāng)期 于是 rP C S e X??? ? ? ,rP C S e X S P C??? ? ? ? ?如 果 則 通 過(guò) 買 賣 存 在 套 利 機(jī) 會(huì)2023/3/8 64 ? ? ? ? XeSdXNedSNP rr ?? ?? ???? 21? ? ? ?21 dXNedSN r ????? ? ? 對(duì)于具有與歐式看漲期權(quán)定價(jià)相同參數(shù)的歐式看跌期權(quán)定價(jià)平價(jià)公式 將歐式看漲期權(quán)定價(jià)的 BlackScholes公式代入，得： 即 t=0 t=T ST≥ ST ST≤ 賣武鋼認(rèn)購(gòu)權(quán)證（執(zhí)行價(jià) ） C 0 買武鋼股票 S0 ST ST ST 買武鋼認(rèn)沽權(quán)證（執(zhí)行價(jià) ） P 0 借入現(xiàn)金 (1+r)t/365 現(xiàn)金流 CPS0+(1+r)t/365 0 2023/3/8 65 ? ?? ?? ?? ?:::::ecepacacYYYY???????歐 式 看 漲 期 權(quán) 的 價(jià) 格 過(guò) 程歐 式 看 跌 期 權(quán) 的 價(jià) 格 過(guò) 程記 號(hào)美 式 看 漲 期 權(quán) 的 價(jià) 格 過(guò) 程美 式 看 跌 期 權(quán) 的 價(jià) 格 過(guò) 程2023/3/8 66 附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征 ? ? ? ?? ? ? ?0, [ 0 , ]eacceappY t Y t tTY t Y t? ????? ????2023/3/8 67 命題 1:對(duì)于 [0,T ]上具有相同執(zhí)行價(jià)格 q的歐式和美式期權(quán)，存在 附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, [ 0 , ], ,r T teecpaaY
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