布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價模型(編輯修改稿)
2025-02-05 19:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ???? ??? )21( 2222 設(shè) f是依賴于 S的衍生證券的價格，則 f一定是 S和 t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得： SdzSdtdS ?? ??S?t f?17 169。 , 2023 為了消除風(fēng)險源 ，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。 令 代表該投資組合的價值，則： z?Sf?? ffSx?? ? ? ? ?在 時間后，該投資組合的價值變化 為： ffSS?? ? ?? ? ?????t?代入 和 可得 f?S tSS ftf ???????? )21( 2222 ?18 169。 , 2023 tSS ftf ?????????? )21( 2222 ? 中不含任何風(fēng)險源，因 此組合 必須獲得無風(fēng)險收益，即 ? tr?????代入上式可得 tSSffrtSS ftf ??????????? )()21( 2222 ?化簡為 rfS fSS frStf ????????? 222221 ?**這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格 S的所有衍生證券的定價。 19 169。 , 2023 觀察布萊克－舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對 f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。盡管這只是一個人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。 在風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率 r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。 20 169。 , 2023 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為 10元，我們知道在 3個月后，該股票價格要么是 11元，要么是 9元。現(xiàn)在我們要找出一份 3個月期協(xié)議價格為 票歐式看漲期權(quán)的價值。 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于 3個月后股票的市價。若 3個月后該股票價格等于 11元，則該期權(quán)價值為 ；若 3個月后該股票價格等于 9元，則該期權(quán)價值為 0。 風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用 21 169。 , 2023 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若 3個月后該股票價格等于 11元時，該組合價值等于 ( 11 － )元；若 3個月后該股票價格等于 9元時，該組合價值等于 9 元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)? 值，使 3個月后該組合的價值不變，這意味著： ??11 － =9 = ?? 因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。無論 3個月后股票價格等于 11元還是 9元，該組合價值都將等于 。 ?22 169。 , 2023 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于 10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和 票多頭，而目前股票市場為 10元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為 ，否則就會存在無風(fēng)險套利機(jī)會。 ???e ? ???f f23 169。 , 2023 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到 11元的概率和下降到 9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為 10%，則股票上升的概率 P可以通過下式來求： 0. 1 0. 2510 [ 11 9( 1 ) ]e P P??? ? ? ?%。 24 169。 , 2023 又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為 15%，則股票的上升概率可以通過下式來求： 0. 15 0. 2510 [ 11 9( 1 ) ]e P P??? ? ? ?%。 可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于 元。 25 169。 , 2023 在風(fēng)險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（ T時刻）的期望值為： )]0,[max( XSE T ??其中， 表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價 原理，歐式看漲期權(quán)的價格 c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進(jìn) 行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： )]0,[ma x()( XSEe TtTr ?? ????E26 169。 , 2023 對 右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為： 其中， )()( 2)(1 dNXedSNc tTr ????tTdtTtTrXSdtTtTrXSd????????????????
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