【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 格相應(yīng)調(diào)整為： ti jij duS ?? )1( ?0,1, ,ji?若在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率，則 時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為： jiji duS ?? )1( ?tiD（ 為 0時(shí)刻到 時(shí)刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率） i? tiD 1/21/2023 29 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 將證券價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來(lái)紅利的現(xiàn)值。 假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日 τ在到之間，則在時(shí)刻不確定部分的價(jià)值為： * ( ) ( )S i t S i tD ? D 當(dāng) 時(shí) it?D?* ( )( ) ( ) r i ti t S i t D e ?? ? DD ? D ?當(dāng) 時(shí)（表示紅利） ?D?在 時(shí)刻： 當(dāng) 時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為： tiDit?D? * ( )0 j i j r i tS u d D e ?? ? ? D?當(dāng) 時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為： ?ti *0 j i jS u d ?0 ,1, ,ji?（ 為零時(shí)刻的 值） *0S*S 已知紅利額 1/21/2023 30 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 利率是時(shí)間依賴的情形 假設(shè) ，即在時(shí)刻 的結(jié)點(diǎn)上，其應(yīng)用的利率等于 到 時(shí)間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率，則： ? ?r f t?t ttt?D? ?f t tedpudD ?? ? ? ?1f t tuep udD??? ?這一假設(shè)并不會(huì)改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，所以我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖 1/21/2023 31 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 的二叉樹圖 ?在確定參數(shù) 、 和 時(shí)，不再假設(shè) ，而令 ，可得： ud1ud? ? ? ?2 22r q t tue ? ?? ? D ? D? ? ?2 22r t tde ? ?? D ? D?該方法優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)論 和 如何變化，概率總是不變的 ?tD 1/21/2023 32 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 三叉樹圖 每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)格有三種運(yùn)動(dòng)的可能： 從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ； 保持不變，仍為 ； 下降到原先的 倍，即 tDSuSudS SS dS u S u2 S u3 S u2S uS uSSS dS d S d3 S d2 S d2 1/21/2023 33 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 一些相關(guān)參數(shù)： 3 tue? D?1du?22112 2 6dtp r q ????D? ? ? ? ?????22112 2 6utp r q ????D? ? ? ?????23mp ? 1/21/2023 34 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 控制方差技術(shù) 基本原理：期權(quán) A和期權(quán) B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán) B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán) A的數(shù)值方法解。 假設(shè)： （ 代表期權(quán) B的真實(shí)價(jià)值， 表示關(guān)于期權(quán) A的較優(yōu)估計(jì)值， 和 表示用同一個(gè)二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過(guò)程得到的估計(jì)值） 則期權(quán) A 的更優(yōu)估計(jì)值為： ?BBff???AA?f Af?Af?f ?? ?BBff?? 1/21/2023 35 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格接近執(zhí)行價(jià)格時(shí)和接近到期時(shí)，用高密度的樹圖來(lái)取代原先低密度的樹圖。 即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng) 進(jìn)一步細(xì)分，如分為 ，每個(gè)小步長(zhǎng)仍然采用相同的三叉樹定價(jià)過(guò)程 tD 適應(yīng)性網(wǎng)狀模型 1/21/2023 36 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 通過(guò)構(gòu)建一個(gè)與目前市場(chǎng)上的期權(quán)價(jià)格信息相一致的資產(chǎn)價(jià)格樹圖，從而得到市場(chǎng)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格未來(lái)概率分布的看法。 其具體方法是在二叉樹圖中，通過(guò)前一時(shí)刻每個(gè)結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格向前推出（注意不是倒推）下一時(shí)刻每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格和相應(yīng)概率 隱含樹圖的主要作用在于從交易活躍的常規(guī)期權(quán)中得到的關(guān)于波動(dòng)率微笑和期限結(jié)構(gòu)的信息，來(lái)為奇異期權(quán)定價(jià) 隱含樹圖 1/21/2023 37 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 二叉樹圖模型的基本出發(fā)點(diǎn)： 假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率 ，從而為期權(quán)定價(jià) p取當(dāng)前時(shí)刻為 ，在給定參數(shù) 、 和 的條件下，當(dāng) 時(shí)，二叉樹公式： tt?Dpud 0tD?? ? ? ? ? ? ? ?, , 1 , rtf S t t pf Su t p f Sd t e ?D? D ? ? ?????可以在 進(jìn)行泰勒展開，最終可以化簡(jiǎn)為： ? ?,St ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2222, , ,1 ,02f S t f S t f S trS S rf S t o tt S S?? ? ?? ? ? ? D ?? ? ?在 時(shí)，二叉樹模型收斂于布萊克－斯科爾偏微分方程。 0tD? 1/21/2023 38 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 Monte Carlo: Based On Probability Chance 基本思路： 由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(bào) (payoff)的期望值的貼現(xiàn)； 因此，盡可能地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多種運(yùn)動(dòng)路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報(bào)均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。 蒙特卡洛模擬的基本過(guò)程 1/21/2023 39 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 隨機(jī)路徑： 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中， 為了模擬的路徑，我們把期權(quán)的有效期分為 N個(gè)長(zhǎng)度為時(shí)間段，則上式的近似方程為 ? ?dS r q Sdt Sdz?? ? ?? ? ? ? 2l n l n 2S t t S t r q t t? ????? D ? ? ? ? D ? D????? ? ? ? 2e xp 2S t t S t r q t t? ??????? D ? ? ? D ? D????????或 （是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本） 重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回報(bào)值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值 蒙特卡洛模擬的技術(shù)實(shí)現(xiàn) 1/21/2023 40 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 單個(gè)變量和多個(gè)變量的蒙特卡羅模擬： 當(dāng)回報(bào)僅僅取決于到期時(shí) 的最終價(jià)值時(shí) 可直接用一個(gè)大步（ ）（假設(shè)初始時(shí)刻為零時(shí)刻）來(lái)多次模擬最終的資產(chǎn)價(jià)格，得到期權(quán)價(jià)值： S 0T? ? ? ? ?20 e xp 2S