期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型(已修改)
2025-02-26 05:08 本頁(yè)面
【正文】 1 第 六 章：期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型 第一節(jié) 連續(xù)時(shí)間股票模型 第二節(jié) 離散模型 第三節(jié) 連續(xù)模型的分析 第四節(jié) BlackScholes模型 第五節(jié) BlackScholes公式的推導(dǎo) 第六節(jié) 看漲期權(quán)與看破跌期權(quán)平價(jià) 第七節(jié) 二叉樹(shù)模型和連續(xù)時(shí)間模型 第八節(jié) 幾何布朗運(yùn)動(dòng)股價(jià)模型應(yīng)用的注意事項(xiàng) 2023/3/8 2 保羅 薩繆爾森在 1965年首次提出： t t t tdS S dt S dB????（ 51） tS??tB—— 股票在 時(shí)刻的價(jià)格 —— 常量 —— 服從布朗運(yùn)動(dòng)。 其中： 1826年英國(guó)植物學(xué)家布朗（ 17731858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)的。后來(lái)把懸浮微粒的這種運(yùn)動(dòng)叫做 布朗運(yùn)動(dòng) 。 ? ?STt?10tS e S? ?? 1 tkke S? ?? ?2023/3/8 4 若 表示 T 時(shí)刻的股價(jià) 則根據(jù)二叉樹(shù)模型，在一個(gè)給定時(shí)間間隔 T k t??2023/3/8 5 0ktkS e S? ??? ? 0TkS T S e S???于是 令 T k t這表明 k個(gè)小時(shí)間段的共同影響等同于相應(yīng)大時(shí)間段 的影響。 2023/3/8 6 上式是下列微分方程的解： dS Sdt ?? 0() TS T e S??（ 52） 1 ~ ( 0 ,1)ZNc2023/3/8 7 在式（ 51）中，如果令 0? ?即可得到上述微分方程，這是一個(gè)確定性的公式。 然而，股價(jià)并不具有公式（ 52）所示的可預(yù)測(cè)性和確定性。 令隨機(jī)變量 ~ ( 0 ,1 )定義 110cZtS e e S? ??其中， 為常數(shù) 1kcZtkkS e e S? ???23, kS S S, , ~ ( 0 , 1 ) , 1 , 2 , ,iiZ ii d Z N i k?2023/3/8 8 于是，可得股價(jià)序列 即 設(shè) （ 53） 2023/3/8 9 于是得： 10kiicZktkS e e S? ?? ??（ 54） 與式（ 52）相比有什么特點(diǎn)？ 包含了隨機(jī)項(xiàng)，因此更接近實(shí)際！ 2023/3/8 10 te??rkiicZ??te?? 該模型有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，包含了隨機(jī)變量；但存在一個(gè)不足之處，即有兩個(gè)不確定項(xiàng)。 第一個(gè)漂移項(xiàng)來(lái)自 中的 ，其作用類似于債券 第二個(gè)漂移項(xiàng)來(lái)自于 當(dāng)然希望期望的所有的漂移來(lái)自于一個(gè)方面，即 和貨幣基金市場(chǎng)中的利率 2023/3/8 11 1S21 /210 c Z ctS e e S? ???為能對(duì)模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換，并對(duì)不確定性進(jìn)行合并。 對(duì) 進(jìn)行重新定義： 為什么？ 2e xp ( / 2) 1E c Z c??????2023/3/8 12 ? ?10tS e S? ??于是 22ccZE e e?隨機(jī)變量 Z 的一個(gè)重要等式 （ 55） 第二個(gè)因素表示的隨機(jī)變量的漂移率為零 2023/3/8 13 1kkiiWZ?? ? ? ?~ 0 ,kW N k若令： 則： ? ?, , ~ 0 ,1 , 1 , 2 , ,iiZ ii d Z N i k?且因?yàn)椋? 21/20kiic Z k cktkS e e S? ??? ??進(jìn)一步 2023/3/8 14 0S kte? ?kcW 2 /2kce?式（ 56）的分析： 股票的初始價(jià)格； 漂移因子（復(fù)利因子）； 隨機(jī)因子； 修正因子。 2 /20kcWk t k ckS e e e S? ???則 （ 56） 21 /210cWtcS e e e S? ???1S2023/3/8 15 特別注意： 模型（ 56）盡管也是一種離散模型， 但比二叉樹(shù)模型具有更豐富的意義。 因?yàn)? 允許 取任何正值 為什么？ 21e xp ( / 2) 1E c W c??????10 tS e S? ????2023/3/8 16 當(dāng) 時(shí) 是否 否！ 0 200 400 600 800 1000 120000 . 511 . 522 . 533 . 544 . 50 1 , 0 , 0 , 1S c t?? ? ? ? ?0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000 . 511 . 522 . 533 . 54 式（ 56）中將時(shí)間分成小的增量 ，并考慮 步運(yùn)行的影響，一段固定的時(shí)間 可以分成許多小時(shí)間段。 事實(shí)上，針對(duì)同樣的時(shí)間 ，可以分成不同的 個(gè)區(qū)間。 應(yīng)該注意到：隨著 的增加， 的方差 會(huì)增加。為了使得 的總方差獨(dú)立于 ，需要對(duì)常量 隨 進(jìn)行調(diào)整。 t?k2023/3/8 19 T k t??T kk kWkcWk kc 可以在 和 之間建立一個(gè)關(guān)系式，使得 的方差等于 kcW2T?2023/3/8 20 kc即令： 2 2 2( ) ( )kkV ar c W c V ar W c k T?? ? ?于是式（ 56） 2 /20 TWTTTS S e e e??? ??其中 ~ ( 0 , )TW N T2023/3/8 21 對(duì)數(shù)正態(tài)模型（ 為什么？ ） ? ?2 /20TWTTS S e? ? ????（ 57） ??：表明長(zhǎng)期趨勢(shì)； ：表明波動(dòng)率。 這兩個(gè)參數(shù)如何影響股價(jià)？ 0 20 40 60 80 100 120 140 1600 . 70 . 80 . 911 . 11 . 21 . 31 . 40 20 40 60 80 100 120 140 16002468100 20 40 60 80 100 120 140 1600 . 811 . 21 . 41 . 61 . 820 20 40 60 80 100 120 140 16011 . 21 . 41 . 61 . 822 . 22 . 40, 1????, , 11, 1??1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 200 . 511 . 522 . 531 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 201234561 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2012341 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 202468102023/3/8 24 ? ?20 e xp / 2ttS S B t? ? ???? ? ???（ 58） 式中， ),0(~ tNB t由此得到的就是股價(jià)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（ GBM）。 方程（ 51）的解（ 幾何布朗運(yùn)動(dòng) ） 式（ 58）與具有連續(xù)時(shí)間變量 T的離散模型（ 57）相同。 方程（ 51）是一個(gè) SDE，一般 SDE沒(méi)有簡(jiǎn)潔的封閉形式的解。 2023/3/8 25 tBSStt ?????? ???????????2ln20??????????? ?????? ??????? ?? ttNtBt222,2~2??????特別注意： 目的：對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)
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