期權(quán)定價的連續(xù)模型-文庫吧資料
2025-02-22 05:08本頁面
【正文】 22xrTxeV S T x r T X e dx???? ? ?????? ? ? ? ????????202001 ( 1 ( ) ) ( )2xxXe dx X N x XN x?? ???? ? ? ? ? ? ??????2023/3/8 52 將上述積分展開成兩部分 第二部分 2023/3/8 53 202201 e xp22xxS T x r T e dx???? ??? ?????? ??????? ? ?202201 e xp e xp22xxS r T T x e dx? ??? ??? ?? ?022201e xp e xp2 2 22 xxT TS r T dx?????????? ??? ? ? ????????第一部分 2023/3/8 54 Txy ???變量代換， 則 ? ?022022221e xp22212xTyxTxT Tdxe e dx??? ????? ????????????????? ?? ?2201Te N x T??? ? ?2023/3/8 55 所以積分式的第二項等于 ? ?? ?00rTS e N x T???? ?? ? ? ?? ? ? ?0 0 00 1 2rTrTV S N x T Xe N xS N d Xe N d? ??? ? ? ? ???將上述第一項和第二項的結(jié)果代入，得 NoImag e201202ln2ln2SrTXdTSrTXdT????? ????????????? ???????????????????? ?????2023/3/8 56 其中 ? 金融產(chǎn)品今天的價值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風(fēng)險中性定價， E是風(fēng)險中性世界中的期望值。 習(xí)題： 若某日某股票的相關(guān)數(shù)據(jù)如下，求 V 080100SXr???????2023/3/8 40 一、修正的模型 主要思路：讓模型定價等于市價 ???? rbeaS ???2023/3/8 41 資產(chǎn)組合： a股價格為 S0的股票＋現(xiàn)金 b 則投資額為： baS ?? 00 （ 511） 經(jīng)過時間 后，投資的資金將變?yōu)椋? 2023/3/8 42 bSaee rr ??? ?? ???? 00 aSSaee rr ????? ?? ???? ? ?00 SSea rr ????? ?? ????（ 512） 用無風(fēng)險利率 r 貼現(xiàn)得 于是 2023/3/8 43 ? ? 00 ??? SSeE r ??? ? 00 ????? ??re對式（ 512）兩邊求期望，則如果下列條件成立 則 （ 513） ? ??? ??? ? Ee r0 （ 514） 由此，即使 a值變化，上式總是成立。也就是說，我們在風(fēng)險中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實世界。 ? 風(fēng)險中性假設(shè)的結(jié)果：投資者進入了一個風(fēng)險中性世界 ? 所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率 ? 所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 ? 由此我們可以利用 BS公式得到的結(jié)論，作出一個可以大大簡化我們的工作的風(fēng)險中性假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。 ? 從 BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標的證券當(dāng)前市價（ S）、時間（ t）、證券價格的波動率（ σ）和無風(fēng)險利率 r，它們?nèi)际强陀^變量，獨立于主觀變量 —— 風(fēng)險收益偏好。 BlackScholes方程的結(jié)果認為，由于在方程中消掉了漂移項 ，而漂移項代表人們對證券價格未來變化的預(yù)期，也即證券的風(fēng)險期望收益率。 參數(shù) ?是股票價格波動率。 ??和3月 20日 3月 21日 3月 22日 3月 23日 2023/3/8 32 假設(shè)： ? 證券價格遵循幾何布朗運動，即 μ和 σ為常數(shù)； ? 允許賣空； ? 沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付； ? 不存在無風(fēng)險套利機會； ? 證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率 r為常數(shù)。 第二步 2023/3/8 30 解方程： ? ????????? 2/222tStU???得 ????????? /2/2tStSU??第三步 2023/3/8 31 一般經(jīng)驗法則是設(shè)定度量波動率的時期等于將應(yīng)用波動率所對應(yīng)的時期。 方程（ 51）是一個 SDE，一般 SDE沒有簡潔的封閉形式的解。 這兩個參數(shù)如何影響股價？ 0 20 40 60 80 100 120 140 1600 . 70 . 80 . 911 . 11 . 21 . 31 . 40 20 40 60 80 100 120 140 16002468100 20 40 60 80 100 120 140 1600 . 811 . 21 . 41 . 61 . 820 20 40 60 80 100 120 140 16011 . 21 . 41 . 61 . 822 . 22 . 40, 1????, , 11, 1??1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 200 . 511 . 522 . 531 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 201234561 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2012341 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 202468102023/3/8 24 ? ?20 e xp / 2ttS S B t? ? ???? ? ???（ 58） 式中， ),0(~ tNB t由此得到的就是股價的幾何布朗運動模型（ GBM）。為了使得 的總方差獨立于 ，需要對常量 隨 進行調(diào)整。 事實上，針對同樣的時間 ，可以分成不同的 個區(qū)間。 2 /20kcWk t k ckS e e e S? ???則 （ 56） 21 /210cWtcS e e e S? ???1S2023/3/8 15 特別注意： 模型（ 56）盡管也是一種離散模型， 但比二叉樹模型具有更豐富的意義。 第一個漂移項來自 中的 ，其作用類似于債券 第二個漂移項來自于 當(dāng)然希望期望的所有的漂移來自于一個方面，即 和貨幣基金市場中的利率 2023/3/8 11 1S21 /210 c Z ctS e e S? ???為能對模型進行標準正態(tài)變換，并對不確定性進行合并。
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