binaaablack-scholes期權(quán)定價(jià)模型-文庫(kù)吧資料
2024-08-17 10:37本頁(yè)面
【正文】 ? ?和z?fS???ffSS?? ? ? ??2022/8/21 24 ? 在 時(shí)間后： ? 將 代入，可得： ? 在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下： ? 從而得到： ? 這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S的所有衍生證券的定價(jià)。 ? 2022/8/21 21 BlackScholes微分方程：假設(shè) ? 假設(shè)： ? 證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 μ和 σ 為常數(shù)； ? 允許賣空； ? 沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； ? 不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； ? 證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r為常數(shù)。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。 ? 股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以得到未來(lái)的某個(gè)時(shí)刻股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論 dSd S S d t S d z d t d zS? ? ? ?? ? ? ?或2022/8/21 20 BlackScholes微分方程：基本思路 ? 思路：由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性（ dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。 22?????2022/8/21 19 小結(jié) ? 我們可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)：符合弱式有效、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)，以及投資者對(duì)收益率而非價(jià)格的關(guān)注。 ? σ ： ? 是證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 ? 因此一般從歷史的價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 μ是無(wú)關(guān)的。 ? 根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理， μ取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。 ? 將 t與 T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為 η，則 22t22l n l n ~ [ ( ) (1e) , ]~ [ (n,]lt)TTTSSSS S T t TStTt???? ? ??? ? ??? ? ? ????（T ），＝可得T由2022/8/21 17 結(jié)論 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過程。 ln lnTSS?22l n l n ~ [ ( ) ( ) , ]TS S T t T t?? ? ?? ? ? ?22l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]TS S T t T t?? ? ?? ? ? ?()() TtTE S S e ? ?? 22 2 ( ) ( )v a r ( ) [ 1 ]T t T tTS S e e??????2022/8/21 16 （ 2） 股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布 ? 由于 dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。這表明 ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 ? 令 t時(shí)刻 G的值為 lnS， T時(shí)刻 G的值為 lnST，其中 S表示 t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格， ST表示 T時(shí)刻（將來(lái)時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在 T－ t期間 G的變化為： ? 這意味著： ? 進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到 ? 也就是說(shuō)，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為 ，和時(shí)間長(zhǎng)度平方根成正比。 SS?T?2022/8/21 14 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（ 3） ? 如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用Ito引理來(lái)推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù) lnS所遵循的隨機(jī)過程： ? 這個(gè)隨機(jī)過程的特征： ? 普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率和恒定的方差率。 SS?ttSS ????? ???~ ( , )S ttS ? ? ?? ??t?? t? ? 2 t? ?2022/8/21 13 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（ 2） ? 但是，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間 T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)： ? 多期收益率的乘積問題 ? 因此，盡管 σ 是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長(zhǎng)度 T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是 。 JP摩根銀行的RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。 ? 連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)閷?duì)數(shù)之和不是和的對(duì)數(shù)。 ? 交叉匯率問題： ? 如果用百分比表示，例如美元對(duì)日元匯率變化收益率、日元對(duì)美元匯率變化收益率，兩者絕對(duì)值不會(huì)相等；而且其中一個(gè)服從正態(tài)分布，另一個(gè)就無(wú)法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計(jì)算。從而產(chǎn)生悖論。 ? 對(duì)數(shù)收益率 （－ ∞ ，＋ ∞ ）：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。這比較符合現(xiàn)實(shí)。因此需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股票價(jià)格。 ? 投資者感興趣的不是股票價(jià)格 S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。 ? 馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式
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