統(tǒng)計(jì)學(xué)之抽樣與總體參數(shù)的估計(jì)(編輯修改稿)
2025-02-07 17:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 來估計(jì) ?,則稱 ?為 ?的估計(jì)量 ,對(duì)于樣本的一組數(shù)據(jù) x1,x2,…,x n,估計(jì)量 ?的值?(x1,x2,…,x n)稱為 ?的估計(jì)值。如用樣本平均數(shù)估計(jì)總體參數(shù) ?，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差 ?一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)具備下列特性 :(1)一致性 (Consistency)當(dāng)樣本容量無限增大時(shí) ,估計(jì)值越來越接近所估計(jì)的總體參數(shù) .(2)無偏性 (Unbiasedness)估計(jì)值的平均值與真值一致 .(3)有效性 (Effectiveness)當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)不只一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí) ,無偏估計(jì)變異最小者有效性高 ,變異大者有效性低 .(4)充分性指一個(gè)容量為 n的樣本統(tǒng)計(jì)量 ,是否充分地反映了全部 n個(gè)數(shù)據(jù)所反映總體的信息 . 區(qū)間估計(jì) (Interval estimate) 點(diǎn)估計(jì)總是以誤差存在為前提 ,而不能提供正確估計(jì)的概率。沒有解決參數(shù)估計(jì)的精確度和可靠性問題。而區(qū)間估計(jì)可以彌補(bǔ)這一不足之處。 區(qū)間估計(jì)就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知參數(shù)，它不具體指出總體參數(shù)等于什么，但能指出總體的未知參數(shù)落入某一區(qū)間的概率有多大。設(shè) x1,x2,…,x n是來自密度 f(x,?)的樣本，對(duì)于給定的 ?， 0 ?1,如能找到兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ?1 (x1,x2,…,x n)和 ?2 (x1,x2,…,x n),使得 P{?1 (x1,x2,…,x n) ? ?2 (x1,x2,…,x n)}=1 ?,稱 1 ?是置信度 ,(?1 (x1,x2,…,x n),?2 (x1,x2,…,x n))是置信度為 1 ?的 ?的置信區(qū)間 (Confidence interval)。 ?稱為顯著性水平(Significance level)置信區(qū)間表明了區(qū)間估計(jì)的精確性。 區(qū)間越小越精確，區(qū)間越大越不精確；置信度表明了區(qū)間估計(jì)的可靠性 (1 ?)。區(qū)間估計(jì)不可靠的概率為 ?，如 ?=,表明下結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率。進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，總是事先確定號(hào)標(biāo)準(zhǔn)。通常有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：1 ?： , , ?: , , 區(qū)間估計(jì)的原理是樣本分布理論 :進(jìn)行區(qū)間估計(jì)值的計(jì)算及估計(jì)正確概率的解釋上是依據(jù)該樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律及樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本分布提供概率解釋；標(biāo)準(zhǔn)誤的大小決定區(qū)間估計(jì)長(zhǎng)度。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，置信區(qū)間的長(zhǎng)度越短，估計(jì)越精確，仍能保持較高的估計(jì)成功率。加大樣本容量就能使標(biāo)準(zhǔn)誤變小。 總體均值和總體比例的區(qū)間估計(jì) 總體均值的區(qū)間估計(jì)方差 ?2已知（ 1） X服從正態(tài)分布， X～ N(?, ?2)給定顯著性水平 ?,給定顯著性水平 ? , 總體均值 ?在 1 ?的置信水平下的置信區(qū)間為 :或(2)當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí) ,樣本容量 30(大樣本 )時(shí) ,樣本均值近似服從正態(tài)分布置信區(qū)間為 :或例 , ?=, 抽取兩個(gè)樣本n1=10, X1=78, n2=36, X2=79求 ?的 、 。例 已知某校的一次考試全體考生成績(jī)總方差為 100,從中抽得 5位考生的成績(jī)?yōu)?65, 83, 94, 70, 88, 試求全體考生成績(jī)均值的 95%和 99%的置信區(qū)間。方差 ?2未知（ 1）總體服從正態(tài)分布， X～ N(?, ?2)用 S2代替 ?2,建立區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)量置信區(qū)間為 :n足夠大 ,大于等于 30時(shí) ,也可用正態(tài)分布 .（ 2）總體非正態(tài)，且方差未知n足夠大時(shí) ,估計(jì)統(tǒng)計(jì)量接近正態(tài)分布，置信區(qū)間為 , 總體均值、總體比例區(qū)間估計(jì)的一般規(guī)律 ：點(diǎn)估計(jì)值 177。臨界值 標(biāo)準(zhǔn)誤例 某校對(duì)高中一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行英語水平測(cè)試 ,測(cè)試后從中抽取的 9個(gè)考生的成績(jī)?yōu)?83, 91, 62, 50, 74, 68, 70, 65, 85, 試對(duì)該年級(jí)考生的該次測(cè)試成績(jī)均值作區(qū)間估計(jì)(取 ? =)例 總體未知 , S2=S2n1=34, n=100人 , 樣本平均值為 26分鐘 ,估計(jì)全校學(xué)生平均每天鍛煉時(shí)間。例 已知某一總體均值的 95%置信區(qū)間為 (122, 130)。如果樣本均值為 126,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 , 則研究中應(yīng)選取多大的樣本容量 ? 總體比例的區(qū)間估計(jì)某種特征占全部單位的比例 p, 樣本比例為 p, 在大樣本下 (np5, nq5), 可將二項(xiàng)分布變換為正態(tài)分布總體比例 p的置信區(qū)間 :例 在整個(gè)流動(dòng)原因的研究中 ,從某企業(yè)抽取200人流動(dòng)人員的樣本 ,有 140人說離開的原因是不能與管理人員融洽相處 , 求由于該原因離開的真正比例的 95%的置信區(qū)間。 樣本容量的確定確定 n十分重要 , n過大 ,增加費(fèi)用 , n過
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