【文章內容簡介】 水平為 ，則收益率和標準差分別為： 如果日收益率為正態(tài)分布（不是連續(xù)復利），有： 是從 t+i1 到 t+I的收益率。 注意， 20day 的收益率是正態(tài)分布隨機變量的乘積而不是隨機變量的和，因此，如果不使用連續(xù)復利收益率，則 20day 收益率的分析將變的十分復雜。 為什么需要 復利正態(tài)分布收益率（ 2） (2) 當投資的總收益率是兩個價格組合而成時，使用連續(xù)復利收益率是很方便的。例如，如果你購買了一個 Frankfurt市場上的指數(shù)基金，那么，在將來你投資的總價值是由歐元的股票價格乘歐元的美圓價格得出 (看下面的例子 )。 (3) 對于小的收益率值 (例如 ,以天計算的收益率 )，單利收益率可以用復利收益率很好地近似 ,因為，對于一個很小的 X ，我們有： 在這種情況下，單利收益率可以假定為服從正態(tài)分布的。 實例 假設我們在 Frankfurt Stock Market投資 10 mil 歐元的指數(shù)基金，設歐元的日收益率為 YM ， Frankfurt Stock Market 的收益率為 YS, 即： St 是 Frankfurt index在 t 時刻的價格，這里時間單位為 “ one day”。 假設 YM and YS 服從正態(tài)分布和聯(lián)合正態(tài)分布，其均值和方差分別為： ， 它們的相關系數(shù)為： 你的財產明天的價值（以美圓計）為： 根據(jù) St+1 和 Mt+1的定義， 因為聯(lián)合正態(tài)分布之和仍為正態(tài)分布，我們有： 這里 因此，投資歐元的總收益率（股票市場的收益率 +外匯匯率的收益率）仍然服從正態(tài)分布，所以我們可以利用前面所學的技術計算 VaR. 記 為 Yt+1小于 發(fā)生的概率為 的數(shù)值，我們可以計算頭寸為 Vt=10 Mil x Mt時的 VaR。 應用歷史數(shù)據(jù)， 假設 這樣， )1(1010101111???????????????ttYttYtttteMmilMmileMmilVVV 這意味著有 99%的可能性，投資收益率大于 ： 因此，投資在 Frankfurt Stock Market Index上的 Million dollar， a 99% 1day VaR 為： 這樣與傳統(tǒng)意義上的 VaR是否一致？ 六、含有非線性衍生品組合的 VaR 我們以前的分析，都是假定資產的收益率服從正態(tài)分布，但存在一種重要的情況是，當組合中包含衍生證券時，組合的收益率不服從正態(tài)分布，因為衍生證券的價值相對于標的資產而言是非線性的。 例如，如果一個證券組合包括指數(shù)看跌期權 (如組合保險 ), 既是假定指數(shù)收益率服從正態(tài)分布，指數(shù)看跌期權的價值則不服從正態(tài)分布。這部分我們將應用 “ Delta Method” method 和 “ DeltaGamma Method” method處理這類問題 . 令 為資產 St以價值形式表示的收益 (是絕對值而不是百分比 ). 如果 （一） DeltaMethod 假設一個衍生證券在 t時刻的價格為 其中， 為標的資產的價格 該衍生證券的 delta值為 ： 該衍生證券在 t+1 時刻的價格為： 那么，該衍生證券在 t+1 時刻的收益為： 這樣，衍生證券的收益也服從正態(tài)分布，其均值和均方差分別為： Example: 考慮一個投資在 SP500 market index上 $1 bil的養(yǎng)老基金和由3個月看跌期權保險策略構成的組合 假設 SP500 = 936，三個月看跌期權（執(zhí)行價 K = 930 ）的價格為 ft = $36。再假定無風險收益率為 r = 5% ，標的物的紅利收益率為 0，年隱含的收益率波動性為： 則根據(jù) BlackShose公式，有： 在給定 SP500 index的價值，投資在養(yǎng)老基金上的份額為： NS = 1 bil/936 = 1,068,376 index share (spot market). 令 Nf = 1,068,376. Example 這樣整個頭寸的變化量為： 可見， 服從正態(tài)分布，其均值和標準差分別為： 將 代入到 VaR的計算公式中， a 99% one day VaR 為： 評論（ 1） 你可能會立刻注意到在計算非線性證券 VaR時， Delta Normal method的不足 ： （ 1）根據(jù)定義， VaR給出的是小概率下極端的損失值 (損失大于 $ mil in the next 24 hours的概率，僅有 1%)。Delta方法僅僅在股票價格小的變化時才適用。 因此，在近似方法 (假設價格有小的變化 )與 VaR (價格有大的變化 )定義之間存在不一致性。 （ 2）為了進一步考察近似的程度，我們計算看跌期權的價值，這里收益率為均值 standard deviations （假設均值為 0） 這樣，日收益率為： 是低于均值 standard deviations的股票收益率 (這也是用于計算沒有期權時 99% VaR的分界值）。這時，對應的新指數(shù)值為 S ? 900（對應于 VaR的分界值）。 看跌期權的價格為： 評論（ 2） 總頭寸的價值下跌（也就是 VaR ）為： 可見，與 $，其差異的原因是相對于標的資產，看跌期權的價值是非線性的 (價值上升的快，進而高估了 VaR)。 換言之，隨著股票價格的下跌，看跌期權的 Delta變的更負，即它的 Gamma（ Delta 對標的股票價格變化的敏感性） 是正值（此例中 ) ，看跌期權的價值比 增加更快。在這種情況下，估計值超過實際的 a 99% one day VaR，但是，同樣的非線性也可能會低估 a 99% one day VaR。 （二） The DeltaGamma Method 比 delta method 更好的近似方法是應用 Taylor expansion 中的高階項。 應用上述例子 (Taylor expansion),我們有： 這樣，有： 或： 從上述公式，我們立刻可以看出使用高階項估計衍生證券風險的問題。既是 服從正態(tài)分布， 也不服從正態(tài)分布（實際上， 服從自由度為 1的 Chisquare分布）。 （二） The DeltaGamma Method 因此，使用正態(tài)分布假設的優(yōu)點在這里消失。一旦出現(xiàn)這種情況，建議使用更符合實際的收益分布。 一種方法是計算整個頭寸（股票 +期權）的標準差，并應用 VaR. 這是一個相對簡單的方法，因為，如果 服從正態(tài)分布，則所有矩的分析表達式均可以寫出：例如（數(shù)理統(tǒng)計數(shù)中）， 這里， 這樣，我們得到 : 因此， 這里，我們假設 這個結果比用 delta method更接近與實際值。 注意： 如果假定 99%的分位數(shù)為 ，那么，我們是假定收益率為正態(tài)分布，但實際上往往不是正態(tài)分布。