1隱函數(shù)及隱函數(shù)組(編輯修改稿)
2024-10-22 22:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ????xz例 5. 設(shè) F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 解法 1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式 . ????yz212FyFxFz?????211FyFxFz?????yyzxxzz ddd ??????zF 11????1F )( 2zx? ??? 2F )( 2zy?zF 12??確定的隱函數(shù) , )dd( 2121yFxFFyFx z ???????則 )()( 22 21 z yz x FF ???????已知方程 故 數(shù)學(xué)分析 ?21? 對(duì)方程兩邊求微分 : ??1F)dd(d 2121yFxFFyFx zz ???????)dd( 2zzxxz ?zzFyFx d221 ???zyFxF dd 21 ????解法 2 微分法 . )dd( 2zzyyz ?)(d zx ??? 2F 0)(d ?zy??1F ??? 2F 0?數(shù)學(xué)分析 ?22? 解法 3 方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo) 0)1( 2212 ??????? Fxzz yFxzzxz211FyFxFzxz????同理求出 ,z dzy??略！ 數(shù)學(xué)分析 ?23? 例 6. )( xfy ?0x)(xf? .)( 00 yxf ?（反函數(shù)的存在性與其導(dǎo)數(shù)） 在 的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù) ,且 設(shè) .0)(),( ??? xfyyxF,0),( 00 ?yxF ,1?yF ),(),( 000 xfyxF x ???考慮方程 由于 0)( 0 ?? xf0y )( 0yU所以只要 ,就能滿足隱函數(shù)定理的所有條件 , 的某鄰域 這時(shí)方程 (1) 能確定出在 內(nèi)的連續(xù) 可微隱函數(shù) )( ygx ? ,并稱它為函數(shù) )( xfy ? 的反函數(shù) . (1) 數(shù)學(xué)分析 ?24? 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 .)(1)(1)(xfxfFFygxy????????? 數(shù)學(xué)分析 ?25? 二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形 . ?????0),(0),(vuyxGvuyxF?????),(),(yxvyxuu由 F、 G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式 vuvuGGFFvuGFJ ????),(),(以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 , 即 稱為 F、 G 的 行列式 . 雅可比 ( Jacobi ) 數(shù)學(xué)分析 ?26? 定理 3. ,0),( 0000 ?vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏 設(shè)函數(shù) 則方程組 0),(,0),( ?? vuyxGvuyxF③ ),( 00 yx在點(diǎn)的 單值連續(xù)函數(shù) ),(,),( yxvvyxuu ??且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : ① 在點(diǎn) ② 的某一鄰域內(nèi)可 唯一 確定一組滿足條件 滿足 : 0),( ),( ????PvuGFPJ。0),( 0000 ?vuyxG導(dǎo)數(shù)； ,),( 000 yxuu ?),( 000 yxvv ?數(shù)學(xué)分析 ?27? ),(),(1vxGFJxu??????),(),(1vyGFJyu??????),(),(1xuGFJxv??????),(),(1yuGFJyv??????定理證明略 .僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下： vvvuvu GFGGFF1??vvvuvu GFGGFF1??uuvuvu GFGGFF1??uu
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