1隱函數(shù)及隱函數(shù)組-在線瀏覽
2024-11-05 22:32本頁面
【正文】 分析 ?4? 定義 : 設(shè) X?R,Y ?R, 函數(shù) F: X?Y?R. 對于方程 ( , ) 0F x y ?若存在集合 I?X 與 J? Y , 使得對于任何 x?I, 恒有 y?J, 它與 x一起滿足方程 (1), 則稱方程 (1)確定一個定義在 I 上 ， 值域含于 J 的隱函數(shù) . ( ) , , ,y f x x I y J? ? ?若把它記為 則成立恒等式 ( , ( ) ) 0 , .F x f x x I??數(shù)學(xué)分析 ?5? 本節(jié)討論 : 1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) . 2) 在方程能確定隱函數(shù)時 , 研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問題 . 數(shù)學(xué)分析 ?6? 二 .一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 定理 1. 設(shè)函數(shù) ),( 00 yxP。 的 某鄰域內(nèi) 可唯一確定一個 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)滿足 0),( 00 ?yxF y② ③ 滿足條件 導(dǎo)數(shù) 數(shù)學(xué)分析 ?7? 視 y為 x的函數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo) yxFFxy ??dd0?yF在 的某鄰域內(nèi) 則 數(shù)學(xué)分析 ?8? 例 1. 驗(yàn)證方程 在點(diǎn) (0,0)某鄰域 可 確定一個 單值可導(dǎo)隱函數(shù) 0dd,0dd22?? xxyxxy解 : 令 ,1s in),( ???? yxeyyxF x,0)0,0( ?F,yeF xx ??連續(xù) 。 則方程 在點(diǎn) 并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略 , 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下 : 滿足 0),( 000 ?zyxF0),( 000 ?zyxF z① 在點(diǎn) ② ③ 某一鄰域內(nèi)可唯一確 滿足： (更一般地見教材 ) 數(shù)學(xué)分析 ?14? 0),( ?zyxF兩邊對 x 求偏導(dǎo) xFzxFFxz ????zyFFyz ????同樣可得 則 zF? xz?? 0? zyxyxF數(shù)學(xué)分析 ?15? 例 3. 設(shè) zyexz ??., yzxz ????求解法 1: ),( yxzz ? 是由方程 所確定， ? ?, zF x y z z x y e? ? ?設(shè) 1,Fx? ??? ,zF ey? ??? 1 zF yez? ???,11zzxyeFFxz??????? 1zyzzFzey F y e? ? ? ???利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式 數(shù)學(xué)分析 ?16? 解法 2 解法 3 直接法 (略 ) )d(d zyexz ?? zyeyex zz ddd ???zye z d)1( ? yex z dd ??zd yyeexye zzz d1d11????,11zyexz????zzyeeyz????1利用微分形式的不變性 數(shù)學(xué)分析 ?17? 例 4. 設(shè) ,04222 ???? zzyx解法 1 直接法 0422 ??????? xzxzzx zxxz ???? 21?2)(1xz???.22xz??求再對 x 求導(dǎo) ? ?yxzz ,? 是由方程 所確定， 2()Zx??數(shù)學(xué)分析 ?18? 解法 2 利用公式 設(shè) zzyxzyxF 4),( 222 ????則 ,2 xF x ?zxFFxz ?????兩邊對 x 求偏導(dǎo) )2(22zxxxz??????322)2()2(zxz????2??? zxzx?? 242 ?? zF z數(shù)學(xué)分析 ?19? 解法 3 利用 全微分形式不變性 則兩邊同時微分 ,4222 dzz d zy d ydxx ???zxxz
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