1隱函數(shù)及隱函數(shù)組(文件)
【正文】 ?),(),(1vyGFJyu??????),(),(1xuGFJxv??????),(),(1yuGFJyv??????定理證明略 .僅推導偏導數(shù)公式如下： vvvuvu GFGGFF1??vvvuvu GFGGFF1??uuvuvu GFGGFF1??uuvuvu GFGGFF1??xxGFyyGFxxGFyyGF數(shù)學分析 ?28? , 的線性方程組這是關于 xvxu ?????????0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組 則 兩邊對 x 求導得 設方程組 ,0??vuvuGGFFJ在點 P 的某鄰域內 ??? xu???xv???xu???xv???xF uF? vF? 0?xG uG? vG? 0?故得 系數(shù)行列式 數(shù)學分析 ?29? 同樣可得 ),(),(1vyGFJyu??????),(),(1vxGFJxu??????),(),(1xuGFJxv??????),(),(1yuGFJyv??????數(shù)學分析 ?30? 例 7. 設 ,1,0 ???? vxuyvyux ., yvxvyuxu ????????解 : xyyxJ ??Jxu 1???22 yxvxuyyu??????方程組兩邊對 x 求導，并移項得 求 vxvxxuy ???????xvyu???22 yxvyux????Jxv 1???22 yxuyvx????練習 : 求 yvyu ???? ,uxvyxux ???????022 ??? yx22 yxvyuxyv??????答案 : 由題設 故有 數(shù)學分析 ?31? 例 8. 已知方程組 ??????????203 22222zyxyxz .dd,ddxzxy求解： 方程組兩邊同時對 x 求導 dd22dddd30ddzyxyxxyzx y zxx?????? ? ???dd22dddd3ddyzyxxxyzy z xxx?? ? ??? ?? ? ??????????????0)16()16(21JJdxdzzyzxJJdxdy數(shù)學分析 ?32? 例 在點 (u,v) 的某一 1) 證明函數(shù)組 ( x, y) 的某一鄰域內 2) 求 解 : 1) 令 0),(),( ??? vuxxvuyxF0),(),( ??? vuyyvuyxG對 x , y 的偏導數(shù) . 在與點 (u, v) 對應的點 鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù) ,且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有 連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù) 數(shù)學分析 ?33? ① 式兩邊對 x 求導 , 得 ???? uy0 xv??xu???1 xu?? xv?????ux ???? vx???? vy則有 ),( ),( vu GFJ ??? ,0),( ),( ???? vu yx由定理 3 可知結論 1) 成立 . 2) 求反函數(shù)的偏導數(shù) . ① ② 數(shù)學分析 ?34? ,0?J注意vyvxJ????011???xu???xv,1 vyJ ???uyJ ???? 1011u
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