高中數(shù)學(xué)解析幾何題型(編輯修改稿)
2025-09-01 16:59 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；②?dāng)時(shí)，．又．所以；由得，由第二定義得．所以．于是由得因?yàn)?，所以，又，解得：．由①②知．考點(diǎn)7 利用向量處理圓錐曲線中的最值問(wèn)題例12．設(shè)橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且，求當(dāng)?shù)拿娣e達(dá)到最大值時(shí)直線和橢圓E的方程.解答過(guò)程：因?yàn)闄E圓的離心率為，故可設(shè)橢圓方程為，直線方程為，由得：，設(shè)，則…………①又，故，即…………②由①②得：，則＝，當(dāng)，即時(shí)，面積取最大值，此時(shí)，即，所以，直線方程為，橢圓方程為.例13．已知，且， 求的最大值和最小值.解答過(guò)程：設(shè)，，因?yàn)?，且，所以，?dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，橢圓方程為，令，則＝，當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值.考點(diǎn)8 利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題例14．（2006年福建卷） 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.考查意圖:本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.解答過(guò)程：（I）圓過(guò)點(diǎn)O、F，圓心M在直線上.設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根.記中點(diǎn)則的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為例15．已知雙曲線C：，B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足成等比數(shù)列，過(guò)F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線，垂足為P，（1）求證：；（2）若與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D,E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.解答過(guò)程：（1）因成等比數(shù)列，故，即，直線：，由，故：，則：，即；（或，即）（2）由， 由得：（或由）例16．已知，， （1）求點(diǎn)的軌跡C的方程； （2）若直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且， 試求m的取值范圍.解答過(guò)程：（1）＝，＝，因，故，即，故P點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由得：，設(shè)，A、B的中點(diǎn)為則，，即A、B的中點(diǎn)為，則線段AB的垂直平分線為：，將的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：，則由得：，解之得或，又，所以，故m的取值范圍是.考點(diǎn)9 利用向量處理圓錐曲線中的存在性問(wèn)題例17．已知A,B,C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓的中心O，且，（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點(diǎn)P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實(shí)數(shù)，使得？請(qǐng)說(shuō)明理由；解答過(guò)程：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立 平面直角坐標(biāo)系，則， 設(shè)橢圓方程為，不妨設(shè)C在x軸上方， 由橢圓的對(duì)稱性， 又，即為等腰直角三角形， 由得：，代入橢圓方程得：， 即，橢圓方程為；（2）假設(shè)總存在實(shí)數(shù)，使得，即， 由得，則， 若設(shè)CP：，則CQ：， 由， 由得是方程的一個(gè)根， 由韋達(dá)定理得：，以代k得， 故，
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