高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的題型與方法(編輯修改稿)
2024-09-01 16:59 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (x0)是指總體取值小于的概率，則：（1）(x0)=P(x x0)；（2）(x0)=1(x0)。⒉對(duì)于任一正態(tài)總體N(μ，σ2)來(lái)說(shuō)，取值小于x的概率F(x)=()。⒊從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的取值范圍是R，但實(shí)際上取區(qū)間(μ3σ，μ+3σ)外的數(shù)值的可能性微乎其微，在實(shí)際問(wèn)題中常常認(rèn)為它是不會(huì)發(fā)生的。因此，往往認(rèn)為它的取值是個(gè)有限區(qū)間，即區(qū)間(μ3σ，μ+3σ)，這即實(shí)用中的三倍標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則，也叫3σ規(guī)則。在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用這個(gè)規(guī)則進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過(guò)程控制。㈥線性回歸的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同，有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量存在密切關(guān)系，但不存在確定性的函數(shù)關(guān)系。六、范例分析例1. 2000年全國(guó)高考天津理科卷(13) x012p某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意連續(xù)取出2件，其中次品數(shù)x 的概率分布是 解：大批產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品，認(rèn)為次品數(shù)x 服從二項(xiàng)分布B(2, )空格中應(yīng)填 , , 考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布例2. 2001年全國(guó)高考天津理科卷(14) 一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出兩個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是__________________.解1：同時(shí)取出的兩個(gè)球中含紅球數(shù) x 的概率分布為P(x = 0) ==, P(x = 1) ==, P(x = 2) ==Ex ==, 空格中應(yīng)填 解2：同時(shí)取出的兩個(gè)球中含紅球數(shù) x 服從超幾何分布，其數(shù)學(xué)期望為 n==例3. 2002年全國(guó)高考天津文科卷(15)甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t / hm2）品種第1年第2年第3年第4年第5年甲10乙其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 甲 。提示：甲 = ( + + + 10 + ) = ，乙 = ( + + + + ) = 。s = ( + … + ) – 102 = ，s = ( + … + ) – 102 = 。例4. 2003年全國(guó)高考江蘇卷(14) 遼寧卷(14) 天津文科卷(14) 天津理科卷(14)某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取 6 ，z 30 ， 10 輛。 提示：1200 + 6000 + 2000 = 9200；46 : 9200 = 1 : 20；\ 1200 180。 = 6，6000 180。 = 30，2000 180。 = 10。例5. ，“從100只抽出3只，3只都是B類”的概率是多少？⑴ 每次取出一只，測(cè)試后放回，然后再隨機(jī)抽取下一只（稱為返回抽樣）；⑵ 每次取出一只，測(cè)試后不放回，在其余的電路板中，隨意取下一只（稱為不返回抽樣）解：⑴ 設(shè)“從100只中抽去3只，3只都是B類”為事件M，先求基本事件總數(shù)，由于每次抽去一只，測(cè)試后又放回，故每次都是從100只電路板中任取一只，這是重復(fù)排列，共有，由于每次抽出后又放回，故是重復(fù)排列，共有 個(gè)，所以 ⑵ 由于取出后不放回，所以總的基本事件數(shù)為個(gè)，事件M的基本事件數(shù)為，所以 例6. 已知連續(xù)型隨機(jī)變量ε的概率密度函數(shù)，且f(x) ≥0，求常數(shù)k的值，并計(jì)算概率P(≤ε)?！?分析:凡是計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量ε的密度函數(shù)f(x)中的參數(shù)、概率P(a≤ε≤b)都需要通過(guò)求面積來(lái)轉(zhuǎn)化而求得。若f(x) ≥0且在[a，b]上為線性，那么P(a≤ε≤b)的值等于以ba為高，f(a)與f(b)為上、下底的直角梯形的面積，即。 解: ∵ ∴； 例7. 對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下： 甲：27，38，30，37，35，31； 乙：33，29，38，34，28，36。 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰(shuí)更優(yōu)秀?！ 》治?根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，需要計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的與，然后加以比較，最后再作出判斷?！ 〗? ， ??； ， ∴， 由此可以說(shuō)明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀。 說(shuō)明：與作為總體方差的兩個(gè)估計(jì)量，當(dāng)樣品容量不是很大時(shí)，更接近，故在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，我們常用去估計(jì)，但當(dāng)容量較大時(shí)，與則沒(méi)有什么差別。例8．幾何分布某射擊手擊中目標(biāo)的概率為P。求從射擊開(kāi)始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)的期望、方差。解：123………… 令 例9．設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為： ，x∈R?！ 。?）求μ，σ；（2）求及的值?！ 》治觯焊鶕?jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照已知函數(shù)求出μ和σ。利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來(lái)解決?！ 〗猓? （1）由于，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知μ=1，故X～N（1，2）?！ 。?） ?！ ∮帧 ? ?！ ≌f(shuō)明：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，將未知的，不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、已解決了的問(wèn)題，是我們常用的手段與思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。通過(guò)本例我們還可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。 例10．公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高ε～N（173，7）（單位：cm），問(wèn)車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高（精確到1cm）？ 分析：由題意可知，求的是車門的最低高度，可設(shè)其為xcm，使其總體在不低于x的概率小于1%。 解：設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm，由題意，需使P(ε≥x)1%?！ 擀拧玁（173，7），∴。查表得，解得x，即公共汽車門的高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為180cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞。 說(shuō)明：解決本題的關(guān)鍵是在正確理解題意的基礎(chǔ)上，找出正確的數(shù)學(xué)表達(dá)式；而逆向思維和逆向查表，體現(xiàn)解決問(wèn)題時(shí)思維的靈活性?！ ±?1．已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)： 年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t) 年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t) （1）求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān)； （2）若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。 分析：（1）使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來(lái)完成；（2），若則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。 解：（1）列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：] i123456789101112131415707480788592909592108115123130138145357444544765900114010581188135716251885 ， 。故蔬菜產(chǎn)量與放用氮肥量的相關(guān)系數(shù) ?！ ∮捎趎=15，故自由度152=13。，則
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