【文章內(nèi)容簡介】 ① 利用對應系數(shù)相等列方程；② 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；③ 利用定義本身的屬性列方程；④ 利用幾何條件列方程。 比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 設f(x)＝＋m，f(x)的反函數(shù)f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－22. 二次不等式ax＋bx＋20的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。A. 10 B. －10 C. 14 D. －143. 在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數(shù)是_____。A. －297 B.－252 C. 297 D. 2074. 函數(shù)y＝a－bcos3x (b0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。5. 與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點A(1,4)的直線L39。的方程是_______________。6. 與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是____________。 【簡解】1小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數(shù)易求，選C； 2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關于系數(shù)a、b的方程組，易求得a＋b，選D； 3小題：分析x的系數(shù)由C與(－1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D； 4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案； 5小題：設直線L39。方程2x＋3y＋c＝0，點A(1,4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0； 6小題：設雙曲線方程x－＝λ，點(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。Ⅱ、示范性題組：例1. 已知函數(shù)y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函數(shù)式。 【分析】求函數(shù)的表達式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到判別式法?！窘狻?函數(shù)式變形為： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①不等式①的解集為(1,7)，則－7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的兩根，代入兩根得： 解得：或 ∴ y＝或者y＝ 此題也可由解集(1,7)而設(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后與不等式①比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。 【注】 在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用判別式法處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的判別式法：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用判別式法的關鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。 例2. 設橢圓中心在(2,1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是－，求橢圓的方程。 y B39。 x A F O39。 F39。 A39。 B 【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設a、b、c后，由已知垂直關系而聯(lián)想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a－c的值后列出第二個方程。 【解】 設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF39。|＝a ∴ 解得： ∴ 所求橢圓方程是：＋＝1 也可有垂直關系推證出等腰Rt△BB39。F39。后，由其性質推證出等腰Rt△B39。O39。F39。，再進行如下列式： ，更容易求出a、b的值。 【注】 圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉換成表達式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關于a－c的等式。 一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設方程（或幾何數(shù)據(jù)）→幾何條件轉換成方程→求解→已知系數(shù)代入。 例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式12＋23＋...＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結論。 （89年全國高考題） 【分析】是否存在，不妨假設存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n＝3列出關于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立。 【解】假設存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： ,解得， 于是對n＝3，等式12＋23＋...＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數(shù)學歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立： 假設對n＝k時等式成立，即12＋23＋...＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)； 當n＝k＋1時，12＋23＋...＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]， 也就是說，等式對n＝k＋1也成立。 綜上所述，當a＝b＝1c＝10時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立。 【注】建立關于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列1＋2＋...＋n、1＋2＋...＋n求和的公式，也可以抓住通項的拆開，運用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝12＋23＋...＋n(n＋1)＝(1＋2＋...＋n)＋2(1＋2＋...＋n)＋(1＋2＋...＋n)＝＋2＋＝(3n＋11n＋10)，綜上所述，當a＝b＝1c＝10時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立。 例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？ 【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標函數(shù)，將實際問題轉化為函數(shù)最大值和最小值的研究。 【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm。 ∴ 盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 顯然:15－x0，7－x0，x0。 設V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，則 解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 從而V＝(－)(－x)x≤()＝27＝576。 所以當x＝3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。 【注】均值不等式應用時要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用待定系數(shù)法求。本題解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了湊配法和函數(shù)思想。 Ⅲ、鞏固性題組：1. 函數(shù)y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|1，則a的取值范圍是_____。A. 2a且a≠1 B. 0a或1a2 C. 1a2 D. a2或0a2. 方程x＋px＋q＝0與x＋qx＋p＝0只有一個公共根，則其余兩個不同根之和為_____。A. 1 B. －1 C. p＋q D. 無法確定 3. 如果函數(shù)y＝sin2x＋acos2x的圖像關于直線x＝－對稱，那么a＝_____。A. B. － C. 1 D. －14. 滿足C＋1C＋2C＋...＋nC500的最大正整數(shù)是_____。A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 無窮等比數(shù)列{a}的前n項和為S＝a－ , 則所有項的和等于_____。A. － B. 1 C. 6. (1＋kx)＝b＋bx＋bx＋...＋bx，若b＋b＋b＋...＋b＝－1，則k＝______。7. 經(jīng)過兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點，且過點(3,2)的直線方程為_____________。 8. 正三棱錐底面邊長為2，側棱和底面所成角為60176。，過底面一邊作截面，使其與底面成30176。角，則截面面積為______________。 9. 設y＝f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)＋f(2)＋...＋f(m)的值。 10. 設拋物線經(jīng)過兩點(1,6)和(1,2)，對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y＝2x＋7和拋物線截得的線段長是4, 求拋物線的方程。四、定義法 所謂定義法，就是直接用數(shù)學定義解題。數(shù)學中的定理、公式、性質和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概念。 定義是千百次實踐后的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，A∪B的元素個數(shù)為n，則______。A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤72. 設MP、OM、AT分別是46176。角的正弦線、余弦線和正切線，則_____。A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP3. 復數(shù)z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z| |z|，則實數(shù)a的取值范圍是_____。A. －1a1 B. a1 C. a0 D. a－1或a14. 橢圓＋＝1上有一點P，它到左準線的距離為，那么P點到右焦點的距離為_____。A. 8 C. C. D. 35. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f(－)的值為_____。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺的側棱與底面成45176。角，則其側面與底面所成角的正切值為_____。 【簡解】1小題：利用并集定義，選B； 2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B； 3小題：利用復數(shù)模的定義得，選A； 4小題：利用橢圓的第二定義得到＝e＝，選A； 5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f(－)＝f()＝－f(－)，選B； 6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 設w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求實數(shù)a、b的值。（94年全國理） 【分析】代入z進行運算化簡后，運用復數(shù)三角形式和復數(shù)相等的定義解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）； 由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 由題設條件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根據(jù)復數(shù)相等的定義，得：， 解得。 【注】求復數(shù)的三角形式，一般直接利用復數(shù)的三角形式定義求解。利用復數(shù)相等的定義，由實部、虛部分別相等而建立方程組，這是復數(shù)中經(jīng)常遇到的。 例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性。 【分析】要判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。 【解】 解得： ∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)0得：0x1 設xx1， 則f(x)－f(x)＝－x+x（x+x）=(xx)[1(x+x)( x+x)], ∵ x+x， x+x ∴ (x+x)( x+x)〉＝1 ∴ f(x)－f(x)0即f(