高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽基本知識(shí)集錦(編輯修改稿)
2025-07-05 00:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ：計(jì)數(shù)問題1抽屜原則我第一次接觸抽屜原則，是在一本奧賽書的答案上，有一步驟是：由抽屜原則可得……，于是我就問同學(xué)，什么是抽屜原則，同學(xué)告訴我，三個(gè)蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋果。后來才發(fā)現(xiàn)，抽屜原則不只是這么簡單的，它有著廣泛的應(yīng)用以及許多種不同的變形，下面簡單介紹一下抽屜原則。抽屜原則的常見形式一，把n+k（k≥1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，一定存在一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)物體。二，把mn+k（k≥1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，一定存在一個(gè)抽屜中至少有m+1個(gè)物體。三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，那么后在一個(gè)抽屜里至少放入了m1+1個(gè)物體，或在第二個(gè)抽屜里至少放入了m2+1個(gè)物體，……，或在第n個(gè)抽屜里至少放入了mn+1個(gè)物體四，把m個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，有兩種情況：①當(dāng)n|m時(shí)（n|m表示n整除m），一定存在一個(gè)抽屜中至少放入了個(gè)物體；②當(dāng)n不能整除m時(shí)，一定存在一個(gè)抽屜中至少放入了[]+1個(gè)物體（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）五，把無窮多個(gè)元素分成有限類，則至少有一類包含無窮多個(gè)元素。注：背下來上面的幾種形式?jīng)]有必要，但應(yīng)當(dāng)清楚這些形式雖然不同，卻都表示的一個(gè)意思。理解它們的含義最重要。在各種競(jìng)賽題中，往往抽屜原則考得不少，但一般不會(huì)很明顯的讓人看出來，構(gòu)造抽屜才是抽屜原則中最難的東西。一般來說，題目中一旦出現(xiàn)了“總有”“至少有”“總存在”之類的詞，就暗示著我們：要構(gòu)造抽屜了。例：從自然數(shù)1，2，3，…99，100這100個(gè)數(shù)中隨意取出51個(gè)數(shù)來，求證：其中一定有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).用2種顏色涂55共25個(gè)小方格，證明：必有一個(gè)四角同色的矩形出現(xiàn).2容斥原理容斥原理常常使用，其實(shí)說簡單點(diǎn)，就是從多的往下減，減過頭了在加回來，又加多了再減，減多了再加……，最終得到正確結(jié)果。對(duì)于計(jì)數(shù)中容易出現(xiàn)重復(fù)的題目，我們常常采用容斥原理，去掉重復(fù)的情況。容斥原理基本形式：其中|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)。例：在不大于2004的正整數(shù)中，至少可被3,5,7之一整除？由數(shù)字1，2，3，4，5組成的n位數(shù)，要求n位數(shù)中這五個(gè)數(shù)字每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求所有這種n位數(shù)的個(gè)數(shù)。3遞推方法許多競(jìng)賽題目正面計(jì)算十分困難，于是我們避開正面計(jì)算，先考慮n1時(shí)的情況，在計(jì)算n時(shí)的情況比n1時(shí)的情況增添了多少，然后寫出一個(gè)遞推式，這樣就可以利用數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解決，但一般要求根據(jù)遞推式求通項(xiàng)的能力要比較強(qiáng)，是和擅長數(shù)列的同學(xué)使用。沒什么具體解釋，多多練習(xí)吧例設(shè)m為大于1的正整數(shù)，數(shù)列{an}滿足：a1+a2+……+an模
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