構造函數(shù)法在微積分證明中的應用參考論文(編輯修改稿)
2025-09-01 07:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 端點處的值為0，然后通過在開區(qū)間內(nèi)的符號來判斷在閉區(qū)間上的單調(diào)性.定義2（函數(shù)的奇偶性） 設函數(shù)的定義域關于原點對稱，（即若，則必有），如果，有成立，則稱為偶函數(shù)，如果，有成立，則稱為奇函數(shù).例7. 求證：﹤.證明：設，＝＝＝＝.所以是偶函數(shù)，﹥0時，﹤0，故﹤0；當﹤0時，依圖象關于軸對稱知﹤，恒有﹤0，即﹤.評注：這里實質(zhì)上是根據(jù)函數(shù)奇偶性來證明的，如何構造恰當?shù)暮瘮?shù)充分利用其性質(zhì)是關健.（三）構造函數(shù)運用函數(shù)的極值與最大、最小值證明不等式極值的第一充分條件 設在連續(xù)，在內(nèi)可導，（i）若當時，,當時，,則在取得極大值。(ii) 若當時，,當時，,則在取得極小值.極值的第二充分條件 設在的某領域內(nèi)一階可導，在處二階可導，且，,(i)若，則在取得極大值；(ii)若，則在取得極小值.，.證明方法構造輔助函數(shù)，并取定區(qū)間.①當不等式兩邊均含有未知數(shù)時，可利用不等式兩邊之差構造輔助函數(shù)（見例5）；②當不等式兩邊含有相同的“形式”時，可利用此形式構造輔助函數(shù)（見例6）；③當不等式形如（或）（為常數(shù)）時，可設為輔助函數(shù)（見例7）.例5：證明：當時有.分析：利用差式構造輔助函數(shù)，這與前面利用函數(shù)單調(diào)性定義證明不等式中所構造輔助函數(shù)的方法相同，但由于在上不是單調(diào)函數(shù),（因對任意，不能判斷的符號）.所以不能用可導函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之．證明：構造輔助函數(shù)，則有令，解得，其中只有在區(qū)間內(nèi)，由，有在點連續(xù)．因當時，則在上為減函數(shù)；當時，則在上為增函數(shù)；由極值的第二充分條件(ii)可知，在處取得極小值，即為區(qū)間上的最小值，所以當時，有．故即．例6：設，則．分析：此不等式兩邊含有相同的“形式”：，可將不等式變形為，可構造輔助函數(shù)．證明：將不等式變形為，構造輔助函數(shù)，則有，令，則有．當時，所以單調(diào)遞減；當時，則單調(diào)遞增．因此，由極值的第二充分條件(ii)可知在時取得極小值，即最小值．所以當，有，即．例7：證明：若，則對于中的任意有： ．分析：顯然設輔助函數(shù)，若設，由，故很難用函數(shù)單調(diào)性的定義去證明．考慮到，不難看到不等式，即為與其端點處的函數(shù)值的大小比較問題，因而可想到用最值方法試之．證明：設輔助函數(shù)為，則時，有令得,解之得穩(wěn)定點,因函數(shù)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),因而在[0,1]上有最大值和最小值.已知 .有 因此對一切時，有所以原不等式得證.適用范圍（1）所設函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時；（2）只能證不嚴格的不等式而不能證出嚴格的不等式.（四）構造函數(shù)運用凹凸性證明不等式定義1（凹凸性）設在區(qū)間I上連續(xù),如果對I上任意兩點,恒有那么就稱在區(qū)間I上的圖形是凹的（或凹?。Ｈ绻阌心敲淳头Q在區(qū)間I上的圖形是凸的（或凸?。?凹凸性的判定方法定理1 設在上連續(xù),在內(nèi)二階可導,那么① 若在內(nèi),則曲線在上是凹的.② 若在內(nèi),則曲線在上是凸的.證明方法根據(jù)－凹凸函數(shù)定義及其定理和詹森不等式.定義2：設為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對于I上任意兩點和實數(shù)，總有,則稱為I上的凸函數(shù)，若總有,則稱為I上的凹函數(shù). 定理2：設為I上的二階可導函數(shù)，則為I上的凸函數(shù)（或凹函數(shù)）的充要條件是在I上 .詹森不等式 若在上為凸函數(shù)，對任意的且,.函數(shù)的凹凸性定理反映了二階可導函數(shù)的二階導數(shù)符號與凹凸函數(shù)之間的關系.證明方法：①定義證明法：將不等式寫成定義的形式，構造輔助函數(shù)，并討論在所給區(qū)間上的凹凸性.②詹森不等式法：對一些函數(shù)值的不等式，構造凸函數(shù)，應用詹森不等式能快速證此類不等式.例10：證明：當時, .分析：不等式等價于：.不等式兩邊含有相同“形式”：,，即證在內(nèi)即可.證明（定義證明法）：，有(取).(要使與的系數(shù)相同，當且僅當時成立，即).因此.例11：若A,B,C是的三內(nèi)角，則.分析：不等式左邊為的函數(shù)的和，考慮構造凸函數(shù).證明（詹森不等式）：令，, ,取，由，得到.由詹森不等式結論得,因是的三內(nèi)角，則 ，可得 .即 .適用范圍當不等式可寫成凹凸函數(shù)定義的形式或對一些函數(shù)值和且能夠構造凸函數(shù)的不等式.（五）構造函數(shù)運用定積分理論來證明不等式證明方法根據(jù)－定積分的性質(zhì)和變上限輔助函數(shù)理論.定積分性質(zhì)之一：設與為定義在上的兩格可積函數(shù)，若,則.微積分學基本定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則由變動上限積分，定義的函數(shù)在上可導，函數(shù)是被積函數(shù)在上的一個原函數(shù).微積分學基本定理溝通了導數(shù)和定積分這兩個從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系.證明方法構造變上限輔助函數(shù)證明不等式法：對于含有定積分的不等式，可把常數(shù)變?yōu)樽償?shù)構造輔助函數(shù)，利用變上限積分及函數(shù)的單調(diào)性解決此類不等式（見例15）.例15：設在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明.分析：可將此定積分不等式看成是數(shù)值不等式，并將常數(shù)變?yōu)樽償?shù)，利用差式構造輔助函數(shù)：，則要證.證明：（利用構造變上限輔助函數(shù)）．對， ．因為單調(diào)遞增，則，則單調(diào)遞增，所以.因此.適用范圍當不等式含有定積分（或被積函數(shù)時），可用定積分的性質(zhì)來證明或構造上限輔助函數(shù)來證明.（六）構造函數(shù)引入?yún)?shù)證明不等式證明方法根據(jù)－將對數(shù)值不等式的證明轉化為對函數(shù)不等式的證明，用微積分理論研究函數(shù)的性質(zhì)，從而證明不等式.證明方法 引入?yún)?shù)，構造輔助函數(shù)，得到關于的二次多項式，利用判別式來證明不等式.例16：設在區(qū)間上連續(xù)，證明：（柯西－許瓦茨不等式）.分析：欲證不等式是函數(shù)，以及的積分不等式，引入?yún)?shù)，考慮輔助函數(shù)在區(qū)間上的積分.證明：利用定積分的性質(zhì)易知，因此，判別式：，即：．適用范圍當積分式含有平方項，或的情形.四、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法（一）條件極值了解拉格朗日乘數(shù)法，學會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值．條件極值；拉格朗日乘數(shù)法．(1)了解拉格朗日乘數(shù)法的證明，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法。(2) 用條件極值的方法證明或構造不等式。(3) 多個條件的的條件極值問題，計算量較大.。 (4) 在解決很多問題中，用條件極值的方法證明或
規(guī)章制度相關推薦
鄂ICP備17016276號-1