【文章內(nèi)容簡介】 .由圖129易知， ，所以，絕對值函數(shù)在x=0處的極限存在，且|x|＝0. 圖129說明 以上我們引入了下述七種類型的極限，即(1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 (5) 。 (6) 。 (7) .為了統(tǒng)一地論述它們共有的性質(zhì)和運(yùn)算法則，本書若不特別指出是其中的哪一種極限時，將用lim或limy泛指其中的任何一種，只就一種情形x→來證明.三、 無窮小與無窮大1. 無窮小及其性質(zhì) 極限為零的變量稱為無窮小.由無窮小定義知，若limy=0，則稱變量y是無窮小，例如易判定＝0，所以，當(dāng)n→∞時，變量是無窮小.因?yàn)?=0(見圖15)，所以，當(dāng)x→0時，變量無窮小.無窮小是一個變量，.在常量函數(shù)中，惟有0函數(shù)是無窮小，這是因?yàn)閘im0＝0.由無窮小的定義，容易理解無窮小的下述運(yùn)算性質(zhì)：(1) 兩個無窮小的代數(shù)和仍是無窮??；(2) 無窮小與有界變量的乘積是無窮??；(3) 兩個無窮小的乘積是無窮小；(4) 無窮小與常量的乘積是無窮小.例10＝0，這是因?yàn)?，?dāng)x→0時，x是無窮小，是有界變量：||≤1，由無窮小的運(yùn)算性質(zhì)(2)，便有上述結(jié)果.例11＝0，這是因?yàn)?，?dāng)x→∞時，是無窮小，是有界變量：||≤1，由無窮小的運(yùn)算性質(zhì)(2)，便有上述結(jié)果.函數(shù)的極限與無窮小之間有下述關(guān)系. 極限lim存在且等于A的充分必要條件是函數(shù)f(x)可表示為常數(shù)A與無窮小α的和，即lim.例如，因=， 而當(dāng)x→∞時，→0， 即當(dāng)x→∞時，函數(shù)可表示為常數(shù)1和無窮小的和，所以 (當(dāng)x→∞時，→0).2. 無窮大 limy=∞.例如，當(dāng)x→0時，y=的絕對值||將無限增大(見圖111)，即當(dāng)x→0時，=∞.在某一變化過程中，變量y是無窮大，它沒有極限，不過它的變化趨勢是確定的，我們是借用極限的記法表示它的變化趨勢，記作limy＝∞，也稱變量y的極限是無窮大.又如，當(dāng)x→+∞時，y=，稱當(dāng)x→+∞時，y=是正無窮大，并記作(圖130)＝+∞；當(dāng)x→時， y=取負(fù)值，且其絕對值無限增大. 這時稱當(dāng)x→時，y=是負(fù)無窮大，并記作(圖130)＝∞. 圖130從幾何上看，上式的意義是： 曲線y=在x=0的右側(cè)向下無限延伸且越來越接近直線x==0是曲線y=的鉛垂(因直線x=0垂直于x軸)漸近線.同樣， 極限式=∞ 的幾何意義是曲線y=在直線x=0的兩側(cè)分別向下、向上無限延伸，且以直線x=0為鉛垂?jié)u近線(見圖111).3. 無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的定義可以得到二者之間有如下結(jié)論.在同一變化過程中： (1) 若y是無窮大，則是無窮?。?2) 若y是無窮小且y≠0，則 是無窮大.例如，當(dāng)x→1時，y=x1是無窮小，而是無窮大.四、 極限存在準(zhǔn)則 (夾逼性質(zhì)) 設(shè)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)，有h(x)≤f(x)≤g(x),且 h(x)= g(x)=A， 則極限存在，且＝A (數(shù)列極限存在準(zhǔn)則) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)有界數(shù)列包括兩種情形： 一種是單調(diào)增加而有上界；一種是單調(diào)減少而有下界.對數(shù)列｛｝的一切項(xiàng)： (1) 若有≤(n=1,2,…)，則稱數(shù)列是單調(diào)增加的；(2) 若有≥(n=1,2,…)，則稱數(shù)列是單調(diào)減少的.單調(diào)增加與單調(diào)減少的數(shù)列，統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.例如，數(shù)列{}： ，…； ()由于()中后一項(xiàng)總大于前一項(xiàng)，所以它是單調(diào)增加；又因?yàn)橐话沩?xiàng)1，所以它有上界，，易判定=1.167。 極 限 運(yùn) 算一、 極限運(yùn)算法則 (四則運(yùn)算法則) 設(shè)=A, =B，則(1) 代數(shù)和的極限 存在，且=177。=A177。B.(2) 乘積的極限存在，且==AB.特別有(i) 常數(shù)因子C可提到極限符號的前面，即=C=CB.(ii) 若n是正整數(shù)，有=［］n=An.(3) 若＝B≠0，商的極限存在，且=.下面只證明乘法法則，其他法則可類似證明.證 由題設(shè)=A, =B.根據(jù)函數(shù)的極限與無窮小間的關(guān)系，有f(x)=A+α， g(x)=B+β，其中α，f(x)g(x)=(A+α)(B+β)＝AB+αB+βA+αβ.由無窮小的性質(zhì)知，αB+βA+αβ是無窮小.，便有=AB. (復(fù)合函數(shù)的極限) 設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的極限存在，且.上式顯然可以寫成=.上式表明，求復(fù)合函數(shù)的極限時，函數(shù)符號“f”與極限符號“”可以交換，即極限運(yùn)算可移到內(nèi)層函數(shù)上去施行.例1 求.
解 由極限的四則運(yùn)算法則原式＝+3x4＝2+ 3x4＝2+314＝2+314＝1.由該題計(jì)算結(jié)果知，對多項(xiàng)式＝，有＝＝.例2 求.解 因分母的極限()＝+22+4＝12≠0,用商的極限法則. 例3 求 .解 易看出，分母的極限為0，不能用商的極限法則，但分子的極限為4≠0，可將分式的分母與分子顛倒后再用商的極限法則，即＝0. 由無窮小與無窮大的倒數(shù)關(guān)系，得原式＝∞.例4 求 .解 顯然，→2時，分母、分子有以0為極限的公因子(x2).我們進(jìn)行因式分解,約去公因子,再求極限. 原式＝＝＝4. 例例例4的計(jì)算方法與結(jié)果，(x)是有理分式＝＝，在求 時，(1) 若 ≠0，則＝；(2) 若＝0，而≠0，則＝∞；(3) 若＝0且＝0，則，一定有以0為極限的()型公因子，將,因式分解，消去公因子后，再求極限.求分式的極限時，若分母與分子的極限都是0，通常稱為型未定式.例5 求 .解 分母、分子都以0為極限，這時可將分母、分子同乘上分子（）的有理化因子，再求極限.＝＝＝.例6 求.解 顯然，分母、分子的極限都不存在，將分母與分子同除以x的最高次冪，再用極限的四則運(yùn)算法則.原式＝＝.例7 求 .解 用除分母與分子，并利用例3的思路原式＝＝∞.由例6,例7，可得如下一般結(jié)論：若R(x)是有理分式，則＝＝求分式的極限時，若分母、分子的極限都是無窮大∞，通常稱為型未定式.例8 求 .解 當(dāng)x→0時，→0，而| |≤1，由無窮小與有界變量乘積的極限，有原式＝0. 二、 兩個重要極限1.極限＝1.當(dāng)?shù)孟卤恚簒1由表易看出，當(dāng)x取值越接近0，則相應(yīng)的的取值越接近1.綜上所述，可以看出，有第一個重要極限＝1.這個極限要作為一個公式來用，若在極限式中有三角函數(shù)或反正弦函數(shù)、反正切函數(shù)，且為型未定式，求極限時，常用到該公式.2極限＝e.： n110由表看出，該數(shù)列是單調(diào)增加的；若再仔細(xì)分析表中的數(shù)值會發(fā)現(xiàn)，隨著n增大，數(shù)列后項(xiàng)與前項(xiàng)的差值在減少，：＝，可以嚴(yán)格證明，該數(shù)列有極限，且＝e.將該極限中的n，改為實(shí)數(shù)x時，同樣有＝e.或?qū)懽鳎絜.這個極限，通常稱為第二個重要極限.由于當(dāng)x→∞時，→1，若limf(x)＝1,limg(x)＝∞，這看作是型未定式，?？紤]用第二個重要極限.例9 求 .解 注意到tanx＝，于是，由乘積的極限法則＝cosx＝11＝1. 該極限式也可作為一個公式來用.例10 求 .解 由于＝3；令t＝3x，則當(dāng)x→0時，t→原式＝3＝3＝31＝3.例11 求 .解 注意到(1cosx)(1+cosx)＝1cos2x＝＝ ＝. 例12 求 .解 用變量替換轉(zhuǎn)化反正切函數(shù)arctanx.設(shè)t＝arctanx，則x＝tant；當(dāng)x→0時，t→原式＝.若將極限 ：＝1中的自變量x換成x的函數(shù)φ(x)，則有公式＝1. ()例13 求 .解 ，應(yīng)用公式()，有原式＝＝＝1＝1.例14 求 .解 .令則；且當(dāng)當(dāng)x→0時，t→ 例15 求 .解 ,令，則；且當(dāng)，于是原式＝＝＝1＝.例16 求.解 用對數(shù)性質(zhì)，并由復(fù)合函數(shù)的極限法則＝＝ln＝lne＝1.例17 證明 .證 .令t＝,則x＝ln(t+1),當(dāng)x→0時，t→0，故＝＝＝1.同樣方法可求得: .若將第二個重要極限中的自變量x換成x的函數(shù)φ(x)，則有公式＝e, ()或＝e. ()例18 求 .解 注意到x→0時，tanx→0，()，有原式＝＝＝.說明 這里,按公式()，應(yīng)寫成 原式＝.由于當(dāng)x→0時，tanx→0這是很顯然的事實(shí)，故按上述寫法也可. 三、 復(fù)利與貼現(xiàn)作為公式 ＝e在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用，在此介紹復(fù)利與貼現(xiàn)問題.1． 復(fù)利公式現(xiàn)有本金，以年利率r貸出，若以復(fù)利計(jì)息，t年末將增值到，試計(jì)算.所謂復(fù)利計(jì)息，就是將每期利息于每期之末加入該期本金，就是利滾利.若以年為1期計(jì)算利息，一年終的本利和為＝（１＋r）,二年末的本利和為＝（１＋r）＝（１＋r）（１＋r）＝,類推，t年末的本利和為＝ ()若仍以年利率為r，一年不是計(jì)息1期，而是一年計(jì)息n期，易推得，t年末的本利和為＝. ()上述計(jì)息的“期”是確定的時間間隔，()可認(rèn)為是按離散情況計(jì)算t年末本利和的復(fù)利公式.若計(jì)息的“期”的時間間隔無限縮短，從而計(jì)息次數(shù)n→∞.這時，由于＝＝,所以，若以連續(xù)復(fù)利計(jì)算利息，其復(fù)利公式是＝. ()在公式()，()和按連續(xù)情況計(jì)算復(fù)利的公式()中，現(xiàn)有本金稱為現(xiàn)在值，.例19 已知現(xiàn)有本金100元，年利率r=8%,t=1年，則一年計(jì)息1期，一年終的本利和 一年計(jì)息2期，一年終的本利和 一年計(jì)息12期，一年終的本利和一年計(jì)息100期，一年終的本利和 連續(xù)復(fù)利計(jì)算，一年終的本利和 由例19知，年利率相同，而一年計(jì)息期數(shù)不同，一年所得之利息也不同。如一年計(jì)息1期，是按8%計(jì)息；一年計(jì)息12期，%計(jì)算；一年計(jì)息100期，%計(jì)算；若連續(xù)復(fù)利計(jì)算，%計(jì)算。這樣，若年利率給定，對于年期以下的復(fù)利，稱年利率8%為名義利率或虛利率，而實(shí)際計(jì)息利率為實(shí)利率。如，%為一年復(fù)利100期的實(shí)利率，%為一年連續(xù)復(fù)利的實(shí)利率。2． 貼現(xiàn)公式若已知未來值，求現(xiàn)在值，則稱貼現(xiàn)問題，這時，利率r稱為貼現(xiàn)率.由復(fù)利公式()易推得，若以年為期貼現(xiàn)，貼現(xiàn)公式是＝. ()若一年均分n期貼現(xiàn)，由復(fù)利公式()可得，貼現(xiàn)公式是＝.  ()由復(fù)利公式()可得，連續(xù)貼現(xiàn)公式是＝. ()例20 設(shè)年利率為9%，現(xiàn)投資多少元，10年之末可得12000元?(1) 按離散情況計(jì)息,每年計(jì)息4期； （2）按連續(xù)復(fù)利計(jì)算.解 (1) 用公式()，其中＝12000，n=4，r=，t＝＝12000＝=(元) (2) 用公式()，其中＝12000，r=，t＝＝12000＝＝(元).四、 無窮小的比較我們已經(jīng)知道，不同的無窮小收斂于零的速度有快有慢；當(dāng)然，我們通過考察兩個無窮小之比，引進(jìn)無窮小階的概念.例如，當(dāng)x→0時，,2x,，＝0, ＝∞， ＝2, ＝1.顯然，當(dāng)x→0時，它們收斂于零的速度與x相比是不同的，其中較x為快，這時，稱是比x較高階的無窮?。惠^x為慢，稱是比x較低階的無窮小；2x與x只是相差一個倍數(shù)，稱2x與x是同階無窮?。籹inx與x應(yīng)該說幾乎是一致的，稱sinx與x是等價無窮小. 設(shè)α(α≠0)和β是同一變化過程中的無窮?。喝簦?，則稱β是比α較高階的無窮小，記作β＝o(α)；若＝∞，則稱β是比α較低階的無窮小；若＝C (C是不為零的常數(shù))，則稱β與α是同階無窮小；若＝1，則稱β與α是等價無窮小，記作β～α.例20 當(dāng)x→0時，試將下列無窮小與無窮小x進(jìn)行比較：
(1) 。 (2) 。(3) ln(1+)。